Номер 54, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.54. Найдите все целые значения $a$, при которых уравнение $\log_6 (x^2 + 6) = \frac{a+2}{2a-4}$ имеет корни.

Для того чтобы данное уравнение имело корни, необходимо, чтобы значение правой части принадлежало области значений левой части уравнения.

1. Найдем область значений левой части уравнения, то есть функции $f(x) = \log_6(x^2 + 6)$.

Выражение, стоящее под знаком логарифма, $x^2 + 6$, всегда положительно для любого действительного значения $x$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2 + 6 \ge 6$.

Поскольку основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_6(t)$ является возрастающей. Это означает, что ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Наименьшее значение аргумента $x^2 + 6$ равно 6 (это значение достигается при $x=0$).

Следовательно, наименьшее значение левой части уравнения равно $\log_6(6) = 1$.

Таким образом, область значений функции $f(x) = \log_6(x^2 + 6)$ — это промежуток $[1, +\infty)$.

2. Уравнение будет иметь корни, если значение правой части принадлежит найденной области значений. Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{a+2}{2a-4} \ge 1$

3. Решим это рациональное неравенство относительно параметра $a$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $a$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$2a - 4 \ne 0 \implies 2a \ne 4 \implies a \ne 2$.

Теперь преобразуем неравенство, перенеся 1 в левую часть:

$\frac{a+2}{2a-4} - 1 \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{a+2 - (2a-4)}{2a-4} \ge 0$

$\frac{a+2 - 2a + 4}{2a-4} \ge 0$

$\frac{6-a}{2(a-2)} \ge 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

• Нуль числителя: $6-a=0 \implies a=6$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$).
• Нуль знаменателя: $a-2=0 \implies a=2$. Эта точка исключается из решения, так как она не входит в ОДЗ.

Отметим точки $a=2$ (выколотая) и $a=6$ (закрашенная) на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения $\frac{6-a}{2(a-2)}$ на каждом из них:

• При $a > 6$ (например, $a=7$): $\frac{6-7}{2(7-2)} = \frac{-1}{10} < 0$.
• При $2 < a < 6$ (например, $a=3$): $\frac{6-3}{2(3-2)} = \frac{3}{2} > 0$.
• При $a < 2$ (например, $a=0$): $\frac{6-0}{2(0-2)} = \frac{6}{-4} < 0$.

Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда выражение положительно или равно нулю. Это соответствует промежутку $a \in (2, 6]$.

4. По условию задачи требуется найти все целые значения $a$.

Целыми числами, принадлежащими промежутку $(2, 6]$, являются 3, 4, 5, 6.

Ответ: 3, 4, 5, 6.