Номер 51, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.51. Решите уравнение $ \lg(\arcsin x) = 0 $.

Для решения уравнения $ \lg(\arcsin x) = 0 $ сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Аргумент функции арксинус, $x$, должен удовлетворять неравенству:$$ -1 \le x \le 1 $$

2. Аргумент десятичного логарифма, $\arcsin x$, должен быть строго положительным:$$ \arcsin x > 0 $$

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Совмещая это с условием $\arcsin x > 0$, получаем двойное неравенство:$$ 0 < \arcsin x \le \frac{\pi}{2} $$

Поскольку функция $y = \sin(t)$ является возрастающей на промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$, мы можем применить ее ко всем частям неравенства для нахождения ограничений на $x$:$$ \sin(0) < \sin(\arcsin x) \le \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $$$$ 0 < x \le 1 $$Таким образом, ОДЗ данного уравнения: $x \in (0, 1]$.

Теперь перейдем к решению самого уравнения. Согласно определению десятичного логарифма, если $\lg(a) = 0$, то $a = 10^0 = 1$.

Применяя это правило, получаем:$$ \arcsin x = 1 $$

Чтобы найти $x$, возьмем синус от обеих частей уравнения:$$ x = \sin(1) $$

Осталось проверить, удовлетворяет ли полученный корень ОДЗ. Нам нужно убедиться, что $0 < \sin(1) \le 1$.

Значение 1 здесь — это 1 радиан. Мы знаем, что $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$). На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция синуса положительна и строго меньше 1. Следовательно, $0 < \sin(1) < 1$.

Корень $x = \sin(1)$ входит в ОДЗ.

Ответ: $\sin(1)$.