Номер 43, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.43. Решите уравнение:

a) $ \log^2_2 x + (x - 1) \cdot \log_2 x = 6 - 2x; $

б) $ (x + 1) \cdot \log^2_3 x + 4x \cdot \log_3 x - 16 = 0. $

a) Исходное уравнение: $\log_2^2 x + (x-1)\log_2 x = 6 - 2x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, приведенное к нулю:

$\log_2^2 x + (x-1)\log_2 x - (6 - 2x) = 0$

$\log_2^2 x + (x-1)\log_2 x + 2x - 6 = 0$

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно переменной $t = \log_2 x$. Коэффициенты этого квадратного уравнения зависят от $x$:

$a=1, b=x-1, c=2x-6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (x-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2x-6) = x^2 - 2x + 1 - 8x + 24 = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.

Теперь найдем значения $t = \log_2 x$, используя формулу корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(x-1) \pm \sqrt{(x-5)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{1-x \pm |x-5|}{2}$

Так как $\sqrt{A^2} = |A|$, но в формуле корней уже есть знак $\pm$, мы можем записать $t = \frac{1-x \pm (x-5)}{2}$. Рассмотрим оба варианта:

1) Используем знак "+":

$t_1 = \log_2 x = \frac{1-x + (x-5)}{2} = \frac{1-x+x-5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Из уравнения $\log_2 x = -2$ находим $x$:

$x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Этот корень ($x=1/4$) удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

2) Используем знак "-":

$t_2 = \log_2 x = \frac{1-x - (x-5)}{2} = \frac{1-x-x+5}{2} = \frac{6-2x}{2} = 3-x$.

Получили трансцендентное уравнение $\log_2 x = 3-x$.

Решим его, анализируя функции в левой и правой частях. Функция $f(x) = \log_2 x$ является строго возрастающей на всей области определения. Функция $g(x) = 3-x$ является строго убывающей. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что $x=2$ является корнем, так как $\log_2 2 = 1$ и $3-2=1$.

Этот корень ($x=2$) также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = 2$.

б) Исходное уравнение: $(x+1)\log_3^2 x + 4x\log_3 x - 16 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Данное уравнение является квадратным относительно $t = \log_3 x$.

$(x+1)t^2 + 4xt - 16 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения ($a=x+1, b=4x, c=-16$):

$D = (4x)^2 - 4(x+1)(-16) = 16x^2 + 64(x+1) = 16x^2 + 64x + 64 = 16(x^2 + 4x + 4) = 16(x+2)^2 = [4(x+2)]^2$.

Найдем корни для $t = \log_3 x$:

$t = \frac{-4x \pm \sqrt{[4(x+2)]^2}}{2(x+1)} = \frac{-4x \pm 4(x+2)}{2(x+1)}$ (поскольку по ОДЗ $x>0$, то $x+2>0$, и $\sqrt{(x+2)^2} = x+2$).

Рассмотрим два случая:

1) Используем знак "+":

$t_1 = \log_3 x = \frac{-4x + 4(x+2)}{2(x+1)} = \frac{-4x + 4x + 8}{2(x+1)} = \frac{8}{2(x+1)} = \frac{4}{x+1}$.

Получили уравнение $\log_3 x = \frac{4}{x+1}$.

Функция $y = \log_3 x$ — возрастающая, а функция $y = \frac{4}{x+1}$ — убывающая (при $x>0$). Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Методом подбора находим корень $x=3$.

Проверка: $\log_3 3 = 1$ и $\frac{4}{3+1} = \frac{4}{4}=1$. Равенство верно.

2) Используем знак "-":

$t_2 = \log_3 x = \frac{-4x - 4(x+2)}{2(x+1)} = \frac{-4x - 4x - 8}{2(x+1)} = \frac{-8x - 8}{2(x+1)} = \frac{-8(x+1)}{2(x+1)}$.

Так как $x>0$, то $x+1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$\log_3 x = -4$.

Отсюда находим $x = 3^{-4} = \frac{1}{81}$.

Оба найденных корня, $x=3$ и $x=\frac{1}{81}$, принадлежат ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{81}, x_2 = 3$.