Номер 2, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.2. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \sqrt{\log_{0,2}(x-1)};$

б) $f(x) = \sqrt{\lg(2-x)};$

в) $f(x) = \sqrt{2-\log_4 x};$

г) $f(x) = \sqrt[4]{5-\log_2(2x)}.$

Для нахождения области определения функции (D(f)) необходимо учитывать ограничения, накладываемые на аргументы функций, входящих в её состав (корень, логарифм).

а) Для функции $f(x) = \sqrt{\log_{0,2}(x-1)}$ должны выполняться два условия:

1. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x-1 > 0$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\log_{0,2}(x-1) \ge 0$.

Это приводит к системе неравенств:

Решим первое неравенство:

$x-1 > 0 \implies x > 1$

Решим второе неравенство. Представим 0 в виде логарифма с основанием 0,2:

$\log_{0,2}(x-1) \ge \log_{0,2}(1)$

Так как основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x-1 \le 1 \implies x \le 2$

Найдем пересечение решений системы:

Таким образом, область определения функции – это полуинтервал $(1, 2]$.

б) Для функции $f(x) = \sqrt{\lg(2-x)}$ должны выполняться два условия ($\lg$ – это десятичный логарифм, $\log_{10}$):

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $2-x > 0$.
2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\lg(2-x) \ge 0$.

Составим и решим систему неравенств:

Из первого неравенства получаем:

$2-x > 0 \implies x < 2$

Решим второе неравенство. Представим 0 как $\lg(1)$:

$\lg(2-x) \ge \lg(1)$

Так как основание логарифма $10 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$2-x \ge 1 \implies -x \ge -1 \implies x \le 1$

Найдем пересечение решений:

Пересечением этих условий является луч $(-\infty, 1]$.

в) Для функции $f(x) = \sqrt{2 - \log_4 x}$ область определения задается системой неравенств:

Решим первое неравенство:

$2 \ge \log_4 x \implies \log_4 x \le 2$

Представим 2 в виде логарифма с основанием 4: $2 = \log_4(4^2) = \log_4(16)$.

$\log_4 x \le \log_4(16)$

Основание логарифма $4 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$x \le 16$

Второе условие системы: $x > 0$.

Объединим решения в систему:

Таким образом, область определения функции – это полуинтервал $(0, 16]$.

г) Для функции $f(x) = \sqrt[4]{5 - \log_2(2x)}$ область определения находится из следующих условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $2x > 0$.
2. Выражение под корнем четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным: $5 - \log_2(2x) \ge 0$.

Составим систему неравенств:

Решим первое неравенство:

$5 \ge \log_2(2x) \implies \log_2(2x) \le 5$

Представим 5 в виде логарифма с основанием 2: $5 = \log_2(2^5) = \log_2(32)$.

$\log_2(2x) \le \log_2(32)$

Основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$2x \le 32 \implies x \le 16$

Из второго неравенства системы имеем:

$2x > 0 \implies x > 0$

Найдем пересечение решений:

Областью определения функции является полуинтервал $(0, 16]$.