Номер 29, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.29. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 0,1^{x^2+1} \ge 0,01, \\ 4^{2x+3} \ge 16; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^{0,5x^2-3} > 0,5, \\ 16^x - 6 \cdot 4^x + 8 \ge 0. \end{cases}$

a) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство: $0,1^{x^2+1} \ge 0,01$.

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 0,1. Поскольку $0,01 = (0,1)^2$, получаем:

Так как основание степени $0,1 < 1$, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

Решением данного квадратного неравенства является отрезок $x \in [-1, 1]$.

2. Решим второе неравенство: $4^{2x+3} \ge 16$.

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 4. Поскольку $16 = 4^2$, получаем:

Так как основание степени $4 > 1$, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

Решением данного линейного неравенства является промежуток $x \in [-\frac{1}{2}, +\infty)$.

3. Найдём пересечение решений обоих неравенств, чтобы найти решение системы.

Решение первого неравенства: $x \in [-1, 1]$.

Решение второго неравенства: $x \in [-\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересечением этих множеств является отрезок $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$.

б) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство: $2^{0,5x^2-3} > 0,5$.

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 2. Поскольку $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем:

Так как основание степени $2 > 1$, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $16^x - 6 \cdot 4^x + 8 \ge 0$.

Заметим, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$. Сделаем замену переменной $t = 4^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$. Неравенство принимает вид:

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = 4$.

Неравенство можно переписать в виде $(t-2)(t-4) \ge 0$. Решением является $t \le 2$ или $t \ge 4$.

Выполним обратную замену:

а) $4^x \le 2 \implies (2^2)^x \le 2^1 \implies 2^{2x} \le 2^1 \implies 2x \le 1 \implies x \le \frac{1}{2}$.

б) $4^x \ge 4 \implies 4^x \ge 4^1 \implies x \ge 1$.

Таким образом, решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [1, +\infty)$.

3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [1, +\infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.