Номер 27, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.27. Решите неравенство $\frac{2^{2+\sqrt{x-1}} - 24}{2^{1+\sqrt{x-1}} - 8} > 1$.

Для решения неравенства $$ \frac{2^{2+\sqrt{x-1}} - 24}{2^{1+\sqrt{x-1}} - 8} > 1 $$ выполним следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Неравенство имеет смысл, если выполнены два условия:

а) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$$ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $$

б) Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$$ 2^{1+\sqrt{x-1}} - 8 \neq 0 $$

$$ 2^{1+\sqrt{x-1}} \neq 8 $$

Представим 8 как степень двойки:

$$ 2^{1+\sqrt{x-1}} \neq 2^3 $$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$$ 1+\sqrt{x-1} \neq 3 $$

$$ \sqrt{x-1} \neq 2 $$

Возводим обе части в квадрат:

$$ x-1 \neq 4 \implies x \neq 5 $$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [1, 5) \cup (5, +\infty)$.

2. Преобразование неравенства и введение замены

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{2^{2+\sqrt{x-1}} - 24 - (2^{1+\sqrt{x-1}} - 8)}{2^{1+\sqrt{x-1}} - 8} > 0 $$

$$ \frac{2^{2+\sqrt{x-1}} - 2^{1+\sqrt{x-1}} - 16}{2^{1+\sqrt{x-1}} - 8} > 0 $$

Упростим показательные выражения, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$$ \frac{2^2 \cdot 2^{\sqrt{x-1}} - 2^1 \cdot 2^{\sqrt{x-1}} - 16}{2^1 \cdot 2^{\sqrt{x-1}} - 8} > 0 $$

Введем замену. Пусть $t = 2^{\sqrt{x-1}}$. Поскольку $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $t = 2^{\sqrt{x-1}} \ge 2^0 = 1$.

Подставим $t$ в неравенство:

$$ \frac{4t - 2t - 16}{2t - 8} > 0 $$

$$ \frac{2t - 16}{2t - 8} > 0 $$

$$ \frac{2(t - 8)}{2(t - 4)} > 0 $$

$$ \frac{t - 8}{t - 4} > 0 $$

3. Решение неравенства относительно новой переменной

Решим полученное рациональное неравенство для $t$ методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя) — $t=4$ и $t=8$. Они разбивают числовую ось на интервалы.

• Если $t > 8$, оба множителя $(t-8)$ и $(t-4)$ положительны, дробь положительна.
• Если $4 < t < 8$, множитель $(t-8)$ отрицателен, а $(t-4)$ положителен, дробь отрицательна.
• Если $t < 4$, оба множителя отрицательны, дробь положительна.

Решением является $t < 4$ или $t > 8$. Учитывая ограничение $t \ge 1$, получаем совокупность решений для $t$:

$$ \begin{cases} 1 \le t < 4 \\ t > 8 \end{cases} $$

4. Обратная замена и нахождение решения для x

Возвращаемся к переменной $x$.

Случай 1: $1 \le t < 4$

$$ 1 \le 2^{\sqrt{x-1}} < 4 $$

$$ 2^0 \le 2^{\sqrt{x-1}} < 2^2 $$

Так как основание $2 > 1$, то для показателей степеней неравенство сохраняется:

$$ 0 \le \sqrt{x-1} < 2 $$

Левая часть $0 \le \sqrt{x-1}$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ. Для правой части $\sqrt{x-1} < 2$ возведем обе части в квадрат:

$$ x-1 < 4 \implies x < 5 $$

Случай 2: $t > 8$

$$ 2^{\sqrt{x-1}} > 8 $$

$$ 2^{\sqrt{x-1}} > 2^3 $$

$$ \sqrt{x-1} > 3 $$

Возведем обе части в квадрат:

$$ x-1 > 9 \implies x > 10 $$

5. Итоговый ответ

Объединим полученные решения $x < 5$ и $x > 10$ с ОДЗ: $x \in [1, 5) \cup (5, +\infty)$.

• Пересечение $x < 5$ и ОДЗ дает интервал $[1, 5)$.
• Пересечение $x > 10$ и ОДЗ дает интервал $(10, +\infty)$.

Объединяя эти результаты, получаем окончательное решение неравенства.

Ответ: $x \in [1, 5) \cup (10, +\infty)$.