Номер 22, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.22. Решите систему неравенств $ \begin{cases} 3^{x+3} - 2 \cdot 3^x \ge 2\frac{7}{9}, \\ 10^{x^2+2x-3} < 1. \end{cases} $

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных решений.

1. Решение первого неравенства: $3^{x+3} - 2 \cdot 3^x \ge 2\frac{7}{9}$

Вначале преобразуем обе части неравенства. Смешанное число $2\frac{7}{9}$ представим в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножим на знаменатель и прибавим числитель: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

Левую часть неравенства упростим, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$.

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$27 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x \ge \frac{25}{9}$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$(27 - 2) \cdot 3^x \ge \frac{25}{9}$

$25 \cdot 3^x \ge \frac{25}{9}$

Разделим обе части неравенства на 25 (так как 25 > 0, знак неравенства не меняется):

$3^x \ge \frac{1}{9}$

Представим $\frac{1}{9}$ как степень с основанием 3:

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$3^x \ge 3^{-2}$

Поскольку основание степени 3 больше 1, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив его знак:

$x \ge -2$

2. Решение второго неравенства: $10^{x^2+2x-3} < 1$

Представим число 1 в правой части как степень с основанием 10:

$1 = 10^0$

Неравенство принимает вид:

$10^{x^2+2x-3} < 10^0$

Поскольку основание степени 10 больше 1, переходим к неравенству для показателей, сохранив его знак:

$x^2+2x-3 < 0$

Для решения этого квадратичного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2+2x-3=0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2+2x-3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

$-3 < x < 1$

3. Нахождение решения системы

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ -3 < x < 1 \end{cases}$

Изобразив эти множества на числовой прямой, мы видим, что их пересечением является промежуток от -2 (включительно) до 1 (не включительно).

Таким образом, решение системы неравенств: $x \in [-2; 1)$.

Ответ: $[-2; 1)$.