Номер 33, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.33. Найдите все решения неравенства $\frac{6}{3^{|\sin x|} - 1} > 3^{|\sin x|}$.

Исходное неравенство: $$ \frac{6}{3^{|\sin x|} - 1} > 3^{|\sin x|} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$3^{|\sin x|} - 1 \neq 0$
$3^{|\sin x|} \neq 3^0$
$|\sin x| \neq 0$, что эквивалентно $\sin x \neq 0$.
Следовательно, $x \neq \pi k$ для любого целого $k \in \mathbb{Z}$.

Для упрощения неравенства введем замену переменной. Пусть $t = 3^{|\sin x|}$.
Выражение $|\sin x|$ может принимать значения в интервале $[0, 1]$. С учетом ОДЗ ($|\sin x| \neq 0$), получаем $0 < |\sin x| \le 1$.
Так как показательная функция $y = 3^u$ с основанием $3 > 1$ является возрастающей, то для переменной $t$ получаем следующие ограничения:
$3^0 < 3^{|\sin x|} \le 3^1$, что означает $1 < t \le 3$.

Теперь перепишем исходное неравенство, используя новую переменную $t$: $$ \frac{6}{t - 1} > t $$ Так как из области значений $t$ следует, что $t > 1$, то знаменатель $t-1$ всегда положителен. Мы можем умножить обе части неравенства на $(t-1)$, сохранив знак неравенства:
$6 > t(t-1)$
$6 > t^2 - t$
$t^2 - t - 6 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни $t_1 = -2$ и $t_2 = 3$.
Так как парабола $y = t^2 - t - 6$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $t^2 - t - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями:
$-2 < t < 3$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения для $t$ с его областью значений, определенной ранее ($1 < t \le 3$): $$ \begin{cases} -2 < t < 3 \\ 1 < t \le 3 \end{cases} $$ Решением этой системы является интервал $1 < t < 3$.

Выполним обратную замену $t = 3^{|\sin x|}$: $$ 1 < 3^{|\sin x|} < 3 $$ Запишем 1 и 3 в виде степеней с основанием 3: $$ 3^0 < 3^{|\sin x|} < 3^1 $$ Поскольку основание степени $3 > 1$, можно перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знаки неравенства: $$ 0 < |\sin x| < 1 $$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух условий:
1. $|\sin x| > 0$, что означает $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $|\sin x| < 1$, что означает $\sin x \neq 1$ и $\sin x \neq -1$. Это условие выполняется при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба условия, мы должны исключить все значения $x$, для которых синус принимает значения 0, 1 или -1. Эти значения соответствуют точкам на единичной окружности, которые отвечают углам, кратным $\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа $x$, кроме $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.