Номер 18, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.18. Найдите все значения аргумента, при которых график функции $f(x)=3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x - 5 \cdot 36^x$ расположен выше оси абсцисс.

Условие, при котором график функции $f(x) = 3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x - 5 \cdot 36^x$ расположен выше оси абсцисс, — это $f(x) > 0$.

Запишем и решим соответствующее неравенство: $3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x - 5 \cdot 36^x > 0$

Это показательное неравенство. Заметим, что основания степеней можно выразить через $4^x$ и $9^x$: $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$ $81^x = (9^2)^x = (9^x)^2$ $36^x = (4 \cdot 9)^x = 4^x \cdot 9^x$

Подставим эти выражения в неравенство: $3 \cdot (4^x)^2 + 2 \cdot (9^x)^2 - 5 \cdot 4^x \cdot 9^x > 0$

Полученное неравенство является однородным относительно $4^x$ и $9^x$. Разделим обе части неравенства на $(9^x)^2$. Так как $9^x > 0$ для любого действительного $x$, то и $(9^x)^2 > 0$, поэтому знак неравенства при делении не изменится: $ \frac{3 \cdot (4^x)^2}{(9^x)^2} + \frac{2 \cdot (9^x)^2}{(9^x)^2} - \frac{5 \cdot 4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2} > 0 $

Упростим выражение: $ 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 2 > 0 $

Для решения введем замену. Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$. Так как показательная функция с положительным основанием всегда принимает положительные значения, то $t > 0$. Неравенство примет вид квадратного: $3t^2 - 5t + 2 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$ $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Парабола $y = 3t^2 - 5t + 2$ имеет ветви, направленные вверх (так как $a=3 > 0$), поэтому неравенство $3t^2 - 5t + 2 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями. С учетом условия $t > 0$, получаем совокупность решений: $ \begin{cases} t < \frac{2}{3} \\ t > 1 \end{cases} $

Теперь выполним обратную замену $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$ и решим два неравенства:

1) $\left(\frac{4}{9}\right)^x < \frac{2}{3}$
Приведем обе части к одному основанию $\frac{2}{3}$: $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x < \left(\frac{2}{3}\right)^1$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} < \left(\frac{2}{3}\right)^1$
Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный: $2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$

2) $\left(\frac{4}{9}\right)^x > 1$
Представим 1 как степень с основанием $\frac{4}{9}$: $\left(\frac{4}{9}\right)^x > \left(\frac{4}{9}\right)^0$
Так как основание $0 < \frac{4}{9} < 1$, знак неравенства также меняется на противоположный: $x < 0$

Объединяя полученные результаты, получаем множество всех значений аргумента $x$, при которых график функции расположен выше оси абсцисс.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.