Номер 12, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.12. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $y = 5^{2x+1} - 5^x - 4;$

б) $y = 4^{x+1} - 16^x - 3;$

в) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^x + 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x - 3.$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо определить, на каких интервалах функция принимает положительные значения ($y > 0$), а на каких — отрицательные ($y < 0$). Для этого сначала найдём нули функции, решив уравнение $y = 0$. Нули функции разделят числовую ось на интервалы, в каждом из которых знак функции постоянен.

а) $y = 5^{2x+1} - 5^x - 4$

1. Найдём нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$5^{2x+1} - 5^x - 4 = 0$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, перепишем уравнение:

$5^{2x} \cdot 5^1 - 5^x - 4 = 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 5^x - 4 = 0$

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $5^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

$5t^2 - t - 4 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$

Найдём корни:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = 1$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = -\frac{4}{5}$

4. Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

$t_1 = 1$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -4/5$ не удовлетворяет условию, так как $t$ должно быть положительным.

5. Вернёмся к исходной переменной $x$:

$5^x = t_1 = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x = 0$

6. Нуль функции $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. Определим знак функции на каждом из них. Знак функции $y$ совпадает со знаком выражения $5t^2 - t - 4$. Это парабола с ветвями вверх, она положительна при $t > 1$ и $t < -4/5$. Учитывая $t>0$, получаем:

$y > 0 \implies t > 1 \implies 5^x > 1 \implies 5^x > 5^0 \implies x > 0$

$y < 0 \implies 0 < t < 1 \implies 0 < 5^x < 1 \implies 5^x < 5^0 \implies x < 0$

Ответ: а) функция положительна ($y > 0$) при $x \in (0, \infty)$; функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-\infty, 0)$.

б) $y = 4^{x+1} - 16^x - 3$

1. Найдём нули функции:

$4^{x+1} - 16^x - 3 = 0$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$ и $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x$:

$4 \cdot 4^x - (4^x)^2 - 3 = 0$

$(4^x)^2 - 4 \cdot 4^x + 3 = 0$

2. Сделаем замену. Пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 4t + 3 = 0$

3. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

4. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

5. Вернёмся к переменной $x$:

При $t=1$: $4^x = 1 \implies 4^x = 4^0 \implies x_1 = 0$.

При $t=3$: $4^x = 3 \implies x_2 = \log_4 3$.

6. Нули функции $x=0$ и $x=\log_4 3$ (причем $\log_4 3 > 0$) делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $(0, \log_4 3)$ и $(\log_4 3, \infty)$.
Знак исходной функции $y=-(4^x)^2 + 4 \cdot 4^x - 3$ совпадает со знаком выражения $f(t) = -t^2 + 4t - 3$. Это парабола с ветвями вниз, она положительна между корнями $t=1$ и $t=3$.

$y > 0 \implies 1 < t < 3 \implies 1 < 4^x < 3 \implies 4^0 < 4^x < 4^{\log_4 3} \implies 0 < x < \log_4 3$

$y < 0 \implies t < 1$ или $t > 3$. Учитывая $t>0$, получаем:

$0 < t < 1 \implies 0 < 4^x < 1 \implies x < 0$

$t > 3 \implies 4^x > 3 \implies x > \log_4 3$

Ответ: б) функция положительна ($y > 0$) при $x \in (0, \log_4 3)$; функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-\infty, 0) \cup (\log_4 3, \infty)$.

в) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^x + 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x - 3$

1. Найдём нули функции:

$\left(\frac{1}{9}\right)^x + 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x - 3 = 0$

Так как $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$, то $\left(\frac{1}{9}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^x\right)^2$.

$\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x\right)^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x - 3 = 0$

2. Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, где $t > 0$.

$t^2 + 2t - 3 = 0$

3. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

4. Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $t>0$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет.

5. Вернёмся к переменной $x$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 1 \implies \left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^0 \implies x = 0$

6. Нуль функции $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.
Знак исходной функции совпадает со знаком выражения $f(t) = t^2 + 2t - 3$. Это парабола с ветвями вверх, она положительна вне корней $t=1$ и $t=-3$.

$y > 0 \implies t > 1$ или $t < -3$. Учитывая $t>0$, получаем $t > 1$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1 \implies \left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^0$. Так как основание $1/3 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: $x < 0$.

$y < 0 \implies -3 < t < 1$. Учитывая $t>0$, получаем $0 < t < 1$.

$0 < \left(\frac{1}{3}\right)^x < 1 \implies \left(\frac{1}{3}\right)^x < \left(\frac{1}{3}\right)^0 \implies x > 0$.

Ответ: в) функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-\infty, 0)$; функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (0, \infty)$.