Номер 18, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.18. Запишите в виде натурального логарифма число:

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 0;

д) -1;

е) -2;

ж) -3;

з) $\frac{1}{2}$;

и) $\frac{1}{3}$;

к) -0,5;

л) $\frac{2}{3}$.

Чтобы представить заданное число $x$ в виде натурального логарифма, мы используем тождество $x = \ln(e^x)$. Это следует из определения натурального логарифма ($\ln$) как логарифма по основанию $e$, и основного свойства логарифмов: $\log_b(b^a) = a$. В нашем случае, когда основание $b=e$, это свойство принимает вид $\ln(e^x) = x$.

а) 1
Для числа 1, подставляем $x=1$ в формулу $x = \ln(e^x)$:
$1 = \ln(e^1) = \ln(e)$.
Ответ: $\ln(e)$.

б) 2
Подставляем $x=2$ в формулу:
$2 = \ln(e^2)$.
Ответ: $\ln(e^2)$.

в) 3
Подставляем $x=3$ в формулу:
$3 = \ln(e^3)$.
Ответ: $\ln(e^3)$.

г) 0
Подставляем $x=0$ в формулу. Учитывая, что любое число в степени 0 равно 1, получаем:
$0 = \ln(e^0) = \ln(1)$.
Ответ: $\ln(1)$.

д) -1
Подставляем $x=-1$ в формулу. Используем свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$-1 = \ln(e^{-1}) = \ln(\frac{1}{e})$.
Ответ: $\ln(\frac{1}{e})$.

е) -2
Подставляем $x=-2$ в формулу:
$-2 = \ln(e^{-2}) = \ln(\frac{1}{e^2})$.
Ответ: $\ln(\frac{1}{e^2})$.

ж) -3
Подставляем $x=-3$ в формулу:
$-3 = \ln(e^{-3}) = \ln(\frac{1}{e^3})$.
Ответ: $\ln(\frac{1}{e^3})$.

з) 1/2
Подставляем $x=1/2$ в формулу. Используем свойство степеней $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$:
$\frac{1}{2} = \ln(e^{1/2}) = \ln(\sqrt{e})$.
Ответ: $\ln(\sqrt{e})$.

и) 1/3
Подставляем $x=1/3$ в формулу:
$\frac{1}{3} = \ln(e^{1/3}) = \ln(\sqrt[3]{e})$.
Ответ: $\ln(\sqrt[3]{e})$.

к) -0,5
Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Подставляем $x=-1/2$ в формулу:
$-0,5 = \ln(e^{-1/2}) = \ln(\frac{1}{e^{1/2}}) = \ln(\frac{1}{\sqrt{e}})$.
Ответ: $\ln(\frac{1}{\sqrt{e}})$.

л) 2/3
Подставляем $x=2/3$ в формулу. Используем свойство степеней $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$:
$\frac{2}{3} = \ln(e^{2/3}) = \ln(\sqrt[3]{e^2})$.
Ответ: $\ln(\sqrt[3]{e^2})$.