Номер 17, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.17. Определите число корней уравнения:

а) $2^x = 1 - 3x;$

б) $(\frac{1}{3})^x = 4 - \frac{3}{x};$

В) $3^x = 4 - \sqrt{x};$

Г) $(\frac{1}{2})^x = \operatorname{arctg}x.$

а) Для того чтобы определить число корней уравнения $2^x = 1 - 3x$, воспользуемся графическим методом. Рассмотрим две функции: $f(x) = 2^x$ и $g(x) = 1 - 3x$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

• Функция $f(x) = 2^x$ — это показательная функция с основанием $a=2 > 1$. Она является строго возрастающей на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.
• Функция $g(x) = 1 - 3x$ — это линейная функция, её график — прямая. Угловой коэффициент $k = -3$ отрицателен, следовательно, функция является строго убывающей на всей числовой оси.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором. Проверим значение $x=0$:
Левая часть: $2^0 = 1$.
Правая часть: $1 - 3 \cdot 0 = 1$.
Так как $1=1$, то $x=0$ является корнем уравнения.
Поскольку мы нашли один корень, а их не может быть больше одного, то уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: 1

б) Определим число корней уравнения $(\frac{1}{3})^x = 4 - \frac{3}{x}$.
Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = 4 - \frac{3}{x}$. Область определения уравнения: $x \neq 0$.

• Функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ — показательная с основанием $a=\frac{1}{3}$ ($0 < a < 1$). Она является строго убывающей на всей числовой оси.
• Для анализа монотонности функции $g(x) = 4 - \frac{3}{x}$ найдем её производную: $g'(x) = (4 - 3x^{-1})' = -(-1) \cdot 3x^{-2} = \frac{3}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, то $g'(x) > 0$. Следовательно, функция $g(x)$ строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Рассмотрим каждый интервал отдельно:

• На интервале $(0, +\infty)$: функция $f(x)$ строго убывает, а $g(x)$ строго возрастает. Это означает, что на данном интервале они могут пересечься не более одного раза. Исследуем поведение функций на границах интервала:
  При $x \to 0^+$, $f(x) \to (\frac{1}{3})^0 = 1$, а $g(x) \to 4 - \frac{3}{0^+} \to -\infty$. Значит, $f(x) > g(x)$.
  При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$, а $g(x) \to 4 - 0 = 4$. Значит, $f(x) < g(x)$.
  Так как обе функции непрерывны на $(0, +\infty)$ и разность $f(x)-g(x)$ меняет знак, на этом интервале существует ровно один корень.
• На интервале $(-\infty, 0)$: функция $f(x)$ строго убывает, а $g(x)$ строго возрастает, что также допускает не более одного пересечения.
  При $x \to 0^-$, $f(x) \to 1$, а $g(x) \to 4 - \frac{3}{0^-} \to +\infty$. Значит, $f(x) < g(x)$.
  При $x \to -\infty$, $f(x) = 3^{-x} \to 3^{+\infty} \to +\infty$, а $g(x) \to 4 - 0 = 4$. Значит, $f(x) > g(x)$.
  Аналогично, из-за смены знака разности $f(x)-g(x)$ и непрерывности функций на интервале $(-\infty, 0)$ существует ровно один корень.

Таким образом, уравнение имеет один корень на интервале $(-\infty, 0)$ и один корень на интервале $(0, +\infty)$, что в сумме дает два корня.
Ответ: 2

в) Определим число корней уравнения $3^x = 4 - \sqrt{x}$.
Область определения уравнения задается подкоренным выражением: $x \ge 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 4 - \sqrt{x}$ на области определения $x \ge 0$.

• Функция $f(x) = 3^x$ является строго возрастающей.
• Функция $g(x) = 4 - \sqrt{x}$ является строго убывающей, так как функция $\sqrt{x}$ возрастает.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения.
Проверим наличие корня подбором. Возьмем $x=1$:
Левая часть: $3^1 = 3$.
Правая часть: $4 - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$.
Поскольку $3=3$, $x=1$ является корнем.
Так как корень существует и он может быть только один, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1

г) Определим число корней уравнения $(\frac{1}{2})^x = \arctan x$.
Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = \arctan x$.

• Функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием $a=\frac{1}{2}$ ($0 < a < 1$), является строго убывающей на $\mathbb{R}$.
• Функция $g(x) = \arctan x$ является строго возрастающей на $\mathbb{R}$.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более одного раза.
Чтобы определить, существует ли корень, исследуем поведение функций на бесконечности.
При $x \to -\infty$, $f(x) \to +\infty$, а $g(x) \to -\frac{\pi}{2}$. Очевидно, $f(x) > g(x)$.
При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$, а $g(x) \to \frac{\pi}{2}$. Очевидно, $f(x) < g(x)$.
Рассмотрим непрерывную функцию $h(x) = f(x) - g(x)$. Поскольку на $-\infty$ она принимает положительные значения, а на $+\infty$ — отрицательные, по теореме о промежуточном значении (теореме Больцано-Коши) существует по крайней мере одна точка, где $h(x)=0$.
Ввиду строгой монотонности функций $f(x)$ и $g(x)$ (одна убывает, другая возрастает), такая точка единственна.
Следовательно, уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: 1