Номер 21, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.21. Найдите производную функции:

a) $f(x) = 3^x + 5x^4$

б) $f(x) = 5^{x^3 - 7x^2}$

в) $f(x) = \sqrt{x} \cdot 7^x$

г) $f(x) = \frac{\sin x}{6^x}$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = 3^x + 5x^4$ используется правило дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$. Производная находится как сумма производных каждого слагаемого.
Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$. Для первого слагаемого:
$(3^x)' = 3^x \ln 3$.
Производная степенной функции $(cx^n)' = c \cdot n x^{n-1}$. Для второго слагаемого:
$(5x^4)' = 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3$.
Складывая результаты, получаем производную исходной функции:
$f'(x) = 3^x \ln 3 + 20x^3$.
Ответ: $f'(x) = 3^x \ln 3 + 20x^3$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = 5x^3 - 7x^2$ используется правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$.
Используем правило дифференцирования степенной функции $(cx^n)' = c \cdot n x^{n-1}$ для каждого члена:
$(5x^3)' = 5 \cdot 3x^{3-1} = 15x^2$.
$(7x^2)' = 7 \cdot 2x^{2-1} = 14x$.
Вычитая вторую производную из первой, получаем:
$f'(x) = 15x^2 - 14x$.
Ответ: $f'(x) = 15x^2 - 14x$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x} \cdot 7^x$ используется правило дифференцирования произведения функций $(uv)' = u'v + uv'$.
Обозначим $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ и $v(x) = 7^x$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v'(x) = (7^x)' = 7^x \ln 7$.
Применяем формулу производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 7^x + \sqrt{x} \cdot 7^x \ln 7$.
Для удобства можно вынести общий множитель $7^x$ за скобки:
$f'(x) = 7^x \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \ln 7\right)$.
Ответ: $f'(x) = 7^x \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \ln 7\right)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\sin x}{6^x}$ используется правило дифференцирования частного (дроби) $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Обозначим $u(x) = \sin x$ и $v(x) = 6^x$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
$v'(x) = (6^x)' = 6^x \ln 6$.
Применяем формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{(\cos x) \cdot 6^x - (\sin x) \cdot (6^x \ln 6)}{(6^x)^2}$.
Вынесем в числителе общий множитель $6^x$ и сократим дробь:
$f'(x) = \frac{6^x(\cos x - \sin x \ln 6)}{6^{2x}} = \frac{\cos x - \sin x \ln 6}{6^x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{\cos x - \sin x \ln 6}{6^x}$.