Номер 3, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.3. Запишите в виде десятичного логарифма число:

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 0;

д) -1;

е) -2;

ж) -3;

з) $\frac{1}{2}$;

и) $\frac{1}{3}$;

к) -0,5;

л) $\frac{2}{3}$.

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10, который обозначается как $\lg(x)$ (или $\log_{10}(x)$). Чтобы представить число $a$ в виде десятичного логарифма, используется основное логарифмическое тождество в виде $a = \log_{b}(b^a)$. Для десятичного логарифма основание $b=10$, поэтому формула принимает вид:

$a = \lg(10^a)$

Это означает, что мы должны найти такое число, логарифм которого по основанию 10 равен данному числу $a$. Таким числом является $10^a$.

Применим эту формулу для каждого из данных чисел:

• а) Чтобы представить число 1 в виде десятичного логарифма, подставим его в формулу $a = \lg(10^a)$:

  $1 = \lg(10^1) = \lg(10)$

  Ответ: $\lg(10)$.
• б) Для числа 2:

  $2 = \lg(10^2) = \lg(100)$

  Ответ: $\lg(100)$.
• в) Для числа 3:

  $3 = \lg(10^3) = \lg(1000)$

  Ответ: $\lg(1000)$.
• г) Для числа 0:

  $0 = \lg(10^0)$

  Так как любое число в степени 0 равно 1, то $10^0 = 1$.

  $0 = \lg(1)$

  Ответ: $\lg(1)$.
• д) Для числа -1:

  $-1 = \lg(10^{-1})$

  Используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1$.

  $-1 = \lg(0.1)$

  Ответ: $\lg(0.1)$.
• е) Для числа -2:

  $-2 = \lg(10^{-2}) = \lg(\frac{1}{10^2}) = \lg(\frac{1}{100}) = \lg(0.01)$

  Ответ: $\lg(0.01)$.
• ж) Для числа -3:

  $-3 = \lg(10^{-3}) = \lg(\frac{1}{10^3}) = \lg(\frac{1}{1000}) = \lg(0.001)$

  Ответ: $\lg(0.001)$.
• з) Для числа $\frac{1}{2}$:

  $\frac{1}{2} = \lg(10^{\frac{1}{2}})$

  Используя свойство степени $x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$, получаем $10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}$.

  $\frac{1}{2} = \lg(\sqrt{10})$

  Ответ: $\lg(\sqrt{10})$.
• и) Для числа $\frac{1}{3}$:

  $\frac{1}{3} = \lg(10^{\frac{1}{3}}) = \lg(\sqrt[3]{10})$

  Ответ: $\lg(\sqrt[3]{10})$.
• к) Для числа -0,5, которое равно $-\frac{1}{2}$:

  $-0.5 = \lg(10^{-0.5}) = \lg(10^{-\frac{1}{2}}) = \lg(\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}) = \lg(\frac{1}{\sqrt{10}})$

  Ответ: $\lg(\frac{1}{\sqrt{10}})$.
• л) Для числа $\frac{2}{3}$:

  $\frac{2}{3} = \lg(10^{\frac{2}{3}})$

  Используя свойство степени $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$, получаем $10^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100}$.

  $\frac{2}{3} = \lg(\sqrt[3]{100})$

  Ответ: $\lg(\sqrt[3]{100})$.