Номер 12, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Найдите (в градусах) наименьшее положительное значение переменной $x$, при котором числа $\sin x$, $\operatorname{tg} x$, $\frac{1}{\cos x}$ в указанном порядке являются последовательными членами геометрической прогрессии.

12. Для того чтобы три числа являлись последовательными членами геометрической прогрессии, квадрат среднего члена должен быть равен произведению двух других членов. В данном случае, мы имеем числа $b_1 = \sin x$, $b_2 = \operatorname{tg} x$ и $b_3 = \frac{1}{\cos x}$.
Составим уравнение согласно свойству геометрической прогрессии $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$:
$(\operatorname{tg} x)^2 = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x}$
Мы знаем, что тангенс определяется как $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Подставим это в правую часть уравнения:
$\operatorname{tg}^2 x = \operatorname{tg} x$
Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены в левую часть:
$\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x = 0$
Вынесем общий множитель $\operatorname{tg} x$ за скобки:
$\operatorname{tg} x (\operatorname{tg} x - 1) = 0$
Это уравнение истинно, если один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая:
1) $\operatorname{tg} x = 0$
2) $\operatorname{tg} x - 1 = 0 \implies \operatorname{tg} x = 1$
При решении необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Так как в выражении присутствуют $\operatorname{tg} x$ и $\frac{1}{\cos x}$, знаменатель $\cos x$ не должен быть равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это исключает углы $x = 90^\circ + 180^\circ n$, где $n$ — любое целое число.
Рассмотрим первый случай:
$\operatorname{tg} x = 0$
Общее решение этого уравнения: $x = 180^\circ k$, где $k$ — целое число. Для этих углов $\cos x$ равен $1$ или $-1$, так что ОДЗ выполняется. Нам нужно найти наименьшее положительное значение $x$. При $k=1$ получаем $x = 180^\circ$.
Рассмотрим второй случай:
$\operatorname{tg} x = 1$
Общее решение этого уравнения: $x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k$ — целое число. Для этих углов $\cos x$ не равен нулю, так что ОДЗ выполняется. Наименьшее положительное значение $x$ здесь получается при $k=0$: $x = 45^\circ$.
Теперь сравним наименьшие положительные решения из обоих случаев: $180^\circ$ и $45^\circ$. Наименьшим из них является $45^\circ$.
Ответ: 45