Номер 14, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Три числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого последнее число увеличить на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найдите наименьшее из исходных чисел.

Пусть искомые три числа, образующие возрастающую геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3$. Обозначим первый член прогрессии как $a$, а знаменатель как $q$. Тогда эти числа можно представить в виде $a, aq, aq^2$. Поскольку прогрессия возрастающая, мы можем заключить, что $q > 1$ (при условии $a > 0$).

Согласно первому условию, если второе число увеличить на 2, то последовательность $a, aq+2, aq^2$ становится арифметической прогрессией. Для любой арифметической прогрессии средний член является средним арифметическим его соседей. Таким образом, мы можем записать:

$aq+2 = \frac{a + aq^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и преобразуем выражение, чтобы получить первое уравнение:

$2aq + 4 = a + aq^2 \Rightarrow a + aq^2 - 2aq = 4 \Rightarrow a(q^2 - 2q + 1) = 4 \Rightarrow a(q-1)^2 = 4$.

Далее, по второму условию, если в полученной арифметической прогрессии последнее число увеличить на 9, то новая последовательность $a, aq+2, aq^2+9$ снова станет геометрической. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседей. Это дает нам второе уравнение:

$(aq+2)^2 = a(aq^2+9)$

Раскрыв скобки и упростив, получаем:

$a^2q^2 + 4aq + 4 = a^2q^2 + 9a \Rightarrow 4aq + 4 = 9a \Rightarrow a(9-4q)=4$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a(q-1)^2 = 4 \\ a(9-4q) = 4 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части: $a(q-1)^2 = a(9-4q)$. Так как $a \ne 0$, делим обе части на $a$ и решаем полученное квадратное уравнение относительно $q$:

$(q-1)^2 = 9-4q$

$q^2 - 2q + 1 = 9-4q$

$q^2 + 2q - 8 = 0$

Корнями этого уравнения являются $q_1 = 2$ и $q_2 = -4$. Условие о возрастающей прогрессии исключает $q=-4$, так что единственным подходящим решением является $q=2$.

Подставляем $q=2$ в одно из уравнений, например, во второе: $a(9-4 \cdot 2) = 4$, что дает $a(1)=4$, или $a=4$.

Таким образом, исходные числа: первый член $a=4$, второй член $aq = 4 \cdot 2 = 8$, и третий член $aq^2 = 4 \cdot 2^2 = 16$. Получаем последовательность 4, 8, 16. Она является возрастающей геометрической прогрессией, что соответствует условию.

Исходные числа — это 4, 8 и 16. Наименьшим из этих чисел является 4. Ответ: 4.