Номер 4, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Упростите выражение

$ \frac{15a}{5-a} + \frac{6a}{a^2-25} \cdot \frac{7a+35}{3}. $

а) $ \frac{29a}{5-a}; $

б) $ \frac{a}{a-5}; $

В) 15;

Г) $ \frac{a}{5-a}; $

Д) $ \frac{1}{5-a}. $

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их порядком: сначала умножение, а затем сложение.

1. Выполним умножение дробей: $ \frac{6a}{a^2-25} \cdot \frac{7a+35}{3} $.

Для этого разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно. Знаменатель первой дроби $ a^2-25 $ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $:

$ a^2-25 = a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5) $

В числителе второй дроби $ 7a+35 $ вынесем общий множитель 7 за скобки:

$ 7a+35 = 7(a+5) $

Теперь подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$ \frac{6a}{(a-5)(a+5)} \cdot \frac{7(a+5)}{3} $

Сократим общие множители $ (a+5) $ в числителе и знаменателе, а также числовые коэффициенты 6 и 3:

$ \frac{\cancel{6}^2 a}{(a-5)\cancel{(a+5)}} \cdot \frac{7\cancel{(a+5)}}{\cancel{3}^1} = \frac{2a \cdot 7}{a-5} = \frac{14a}{a-5} $

2. Теперь выполним сложение, подставив полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{15a}{5-a} + \frac{14a}{a-5} $

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Обратим внимание, что знаменатели $ 5-a $ и $ a-5 $ отличаются только знаком: $ 5-a = -(a-5) $. Используем это для преобразования первой дроби:

$ \frac{15a}{5-a} = \frac{15a}{-(a-5)} = -\frac{15a}{a-5} $

Теперь сложение выглядит так:

$ -\frac{15a}{a-5} + \frac{14a}{a-5} $

Так как знаменатели одинаковы, складываем числители:

$ \frac{-15a + 14a}{a-5} = \frac{-a}{a-5} $

Полученное выражение можно преобразовать, внеся знак "минус" из числителя в знаменатель, чтобы оно соответствовало одному из вариантов ответа:

$ \frac{-a}{a-5} = \frac{a}{-(a-5)} = \frac{a}{-a+5} = \frac{a}{5-a} $

Сравнивая итоговый результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту г).

г) Ответ: $ \frac{a}{5-a} $