Номер 14, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Интервалы движения пригородных автобусов по трем маршрутам, начинающимся на автовокзале, составляют 10, 15 и 18 мин соответственно. Найдите, сколько раз с 7 ч 10 мин до 12 ч 10 мин того же дня на автовокзале одновременно встречаются автобусы всех трех маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 10 ч 25 мин.

Для того чтобы найти, как часто автобусы всех трех маршрутов встречаются на автовокзале одновременно, необходимо вычислить наименьшее общее кратное (НОК) интервалов их движения. Интервалы составляют 10, 15 и 18 минут.

1. Нахождение интервала одновременных встреч (НОК)
Разложим интервалы движения на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
$18 = 2 \cdot 3^2$
Наименьшее общее кратное находится как произведение всех уникальных простых множителей в их наивысших степенях:
НОК(10, 15, 18) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$ минут.

Таким образом, автобусы всех трех маршрутов встречаются одновременно каждые 90 минут, что составляет 1 час 30 минут.

2. Определение времени встреч в заданном промежутке
По условию, одна из встреч происходит в 10 ч 25 мин. Мы можем найти все остальные моменты встреч, прибавляя и вычитая интервал в 90 минут (1 час 30 минут) от этого известного времени. Нам нужно найти все встречи в промежутке с 7 ч 10 мин до 12 ч 10 мин.

Рассчитаем время встреч, отталкиваясь от 10 ч 25 мин:

• Встречи до 10 ч 25 мин:
  • $10 \text{ ч } 25 \text{ мин} - 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 8 \text{ ч } 55 \text{ мин}$. Это время входит в заданный интервал.
  • $8 \text{ ч } 55 \text{ мин} - 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 7 \text{ ч } 25 \text{ мин}$. Это время также входит в заданный интервал.
  • $7 \text{ ч } 25 \text{ мин} - 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 5 \text{ ч } 55 \text{ мин}$. Это время находится за пределами интервала (раньше 7 ч 10 мин).
• Встречи после 10 ч 25 мин:
  • $10 \text{ ч } 25 \text{ мин} + 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 11 \text{ ч } 55 \text{ мин}$. Это время входит в заданный интервал.
  • $11 \text{ ч } 55 \text{ мин} + 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 13 \text{ ч } 25 \text{ мин}$. Это время находится за пределами интервала (позже 12 ч 10 мин).

3. Подсчет количества встреч
Временные точки встреч, попадающие в интервал с 7 ч 10 мин до 12 ч 10 мин:7 ч 25 мин, 8 ч 55 мин, 10 ч 25 мин, 11 ч 55 мин.

Всего в указанном промежутке времени автобусы всех трех маршрутов встречаются 4 раза.

Ответ: 4