Номер 6, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите наименьшее общее кратное всех однозначных натуральных чисел.

а) 2520;

б) 1260;

в) 5040;

г) 630;

д) 3780.

Задача состоит в нахождении наименьшего общего кратного (НОК) для всех однозначных натуральных чисел. Однозначными натуральными числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для нахождения НОК, разложим каждое из этих чисел на простые множители.

• $1$ — единицу можно не учитывать при вычислении НОК.
• $2 = 2$
• $3 = 3$
• $4 = 2^2$
• $5 = 5$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $7 = 7$
• $8 = 2^3$
• $9 = 3^2$

Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно выписать все простые множители, входящие в разложения данных чисел, и взять каждый из них с наибольшим показателем степени, с которым он встречается.

В разложениях присутствуют следующие простые множители: 2, 3, 5, 7.

• Наибольшая степень для множителя 2 — это $2^3$ (из разложения числа 8).
• Наибольшая степень для множителя 3 — это $3^2$ (из разложения числа 9).
• Наибольшая степень для множителя 5 — это $5^1$ (из разложения числа 5).
• Наибольшая степень для множителя 7 — это $7^1$ (из разложения числа 7).

Теперь перемножим эти степени простых множителей, чтобы найти НОК:

$НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$

$НОК = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$

Таким образом, наименьшее общее кратное всех однозначных натуральных чисел равно 2520. Теперь проверим предложенные варианты.

а) 2520: Данное число является результатом нашего вычисления. Оно делится на все однозначные натуральные числа и является наименьшим из всех возможных общих кратных. Ответ: 2520.

б) 1260: Проверим делимость на 8. $1260 \div 8 = 157.5$. Число 1260 не делится на 8 без остатка, следовательно, оно не является общим кратным. Ответ: неверно.

в) 5040: Это число равно $2 \cdot 2520$. Оно является общим кратным для всех однозначных чисел, но не является наименьшим общим кратным. Ответ: неверно.

г) 630: Проверим делимость на 8. $630 \div 8 = 78.75$. Число 630 не делится на 8 без остатка, следовательно, оно не является общим кратным. Ответ: неверно.

д) 3780: Проверим делимость на 8. $3780 \div 8 = 472.5$. Число 3780 не делится на 8 без остатка, следовательно, оно не является общим кратным. Ответ: неверно.