Номер 4, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Найдите наибольший простой двузначный делитель числа 2184.

а) $91$;
б) $21$;
в) $13$;
г) $24$;
д) $39$.

Для решения задачи необходимо найти самый большой из делителей числа 2184, который одновременно является и простым, и двузначным. Для этого сначала разложим число 2184 на простые множители.

Разложение на простые множители:

Число 2184 является чётным, поэтому делим его на 2:

$2184 \div 2 = 1092$

$1092 \div 2 = 546$

$546 \div 2 = 273$

Число 273 не делится на 2. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа 273 равна $2 + 7 + 3 = 12$. Поскольку 12 делится на 3, то и 273 делится на 3:

$273 \div 3 = 91$

Теперь нужно разложить 91. Проверяем простые числа: 5, 7, ...

$91 \div 7 = 13$

Число 13 является простым.

Таким образом, каноническое разложение числа 2184 на простые множители выглядит так:

$2184 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$

Простыми делителями числа 2184 являются числа 2, 3, 7 и 13. Из этих делителей нам нужно выбрать наибольший двузначный. Единственным двузначным простым делителем является 13. Следовательно, это и есть искомое число.

Проверим варианты ответов:

а) 91; это число является составным, так как $91 = 7 \cdot 13$. Ответ: неверно.

б) 21; это число является составным, так как $21 = 3 \cdot 7$. Ответ: неверно.

в) 13; это число является простым и является делителем числа 2184. Так как других простых двузначных делителей нет, оно является наибольшим. Ответ: 13.

г) 24; это число является составным, так как $24 = 2^3 \cdot 3$. Ответ: неверно.

д) 39; это число является составным, так как $39 = 3 \cdot 13$. Ответ: неверно.