Номер 3, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Выберите дробь, которую нельзя представить в виде конечной десятичной дроби:

1) $\frac{7}{50}$; 2) $\frac{31}{32}$; 3) $\frac{2}{15}$; 4) $\frac{9}{125}$; 5) $\frac{3}{160}$.

а) 1);
б) 2);
в) 3);
г) 4);
д) 5).

Для того чтобы определить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде конечной десятичной, необходимо привести дробь к несократимому виду и разложить её знаменатель на простые множители. Если в разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. В противном случае — нельзя.

1) Дробь $ \frac{7}{50} $. Эта дробь является несократимой. Разложим знаменатель 50 на простые множители: $ 50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2 $. В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5, следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной. Ответ: можно представить.

2) Дробь $ \frac{31}{32} $. Эта дробь является несократимой, так как 31 — простое число, а 32 не делится на 31. Разложим знаменатель 32 на простые множители: $ 32 = 2^5 $. В разложении знаменателя присутствует только множитель 2, следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной. Ответ: можно представить.

3) Дробь $ \frac{2}{15} $. Эта дробь является несократимой. Разложим знаменатель 15 на простые множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $. В разложении знаменателя присутствует множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Ответ: нельзя представить.

4) Дробь $ \frac{9}{125} $. Эта дробь является несократимой, так как числитель $ 9 = 3^2 $, а знаменатель $ 125 = 5^3 $ не имеют общих делителей. В разложении знаменателя присутствует только множитель 5, следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной. Ответ: можно представить.

5) Дробь $ \frac{3}{160} $. Эта дробь является несократимой. Разложим знаменатель 160 на простые множители: $ 160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5 $. В разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5, следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной. Ответ: можно представить.

Таким образом, единственная дробь из предложенных, которую нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, — это $ \frac{2}{15} $. Это вариант под номером 3.

Правильный ответ: в) 3).