Номер 27.16, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.16. Выясните, является ли прямая $y = 3x - 1$ касательной к графику функции $y = x^3$.

Чтобы прямая являлась касательной к графику функции, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой точке $x_0$ выполнялись два условия:
1) Значение производной функции в этой точке было равно угловому коэффициенту прямой.
2) Значения самой функции и прямой в этой точке совпадали.

Дана функция $f(x) = x^3$ и прямая $y = 3x - 1$. Угловой коэффициент прямой $k = 3$.

1. Найдем точки, в которых производная функции равна угловому коэффициенту прямой.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Приравняем ее к угловому коэффициенту $k=3$, чтобы найти абсциссу возможной точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 3$
$3x_0^2 = 3$
$x_0^2 = 1$
Существует две такие точки: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

2. Проверим второе условие (совпадение значений) для каждой найденной точки.
Для точки $x_0 = 1$:
Значение функции: $f(1) = 1^3 = 1$.
Значение на прямой: $y = 3(1) - 1 = 2$.
Поскольку $f(1) \neq y(1)$ (так как $1 \neq 2$), в этой точке касания нет.

Для точки $x_0 = -1$:
Значение функции: $f(-1) = (-1)^3 = -1$.
Значение на прямой: $y = 3(-1) - 1 = -4$.
Поскольку $f(-1) \neq y(-1)$ (так как $-1 \neq -4$), в этой точке касания также нет.

Так как не существует точки, в которой бы одновременно выполнялись оба условия, данная прямая не является касательной к графику функции $y=x^3$.

Ответ: нет, не является.