Номер 22.6, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.6. Решите уравнение $\sqrt{2x^2-15x+1} + \sqrt{2x^2-15x+8} = 7$.

Данное иррациональное уравнение решается методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $2x^2 - 15x$ присутствует в обоих подкоренных выражениях.

Пусть $t = 2x^2 - 15x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$\sqrt{t+1} + \sqrt{t+8} = 7$

Найдем область допустимых значений для переменной $t$. Поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательными, получаем систему неравенств:

$ \begin{cases} t+1 \ge 0 \\ t+8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t \ge -1 \\ t \ge -8 \end{cases} $

Таким образом, должно выполняться условие $t \ge -1$.

Возведем обе части уравнения с переменной $t$ в квадрат:

$(\sqrt{t+1} + \sqrt{t+8})^2 = 7^2$

$(t+1) + 2\sqrt{(t+1)(t+8)} + (t+8) = 49$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся радикал:

$2t + 9 + 2\sqrt{t^2 + 8t + t + 8} = 49$

$2\sqrt{t^2 + 9t + 8} = 49 - 9 - 2t$

$2\sqrt{t^2 + 9t + 8} = 40 - 2t$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{t^2 + 9t + 8} = 20 - t$

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо потребовать, чтобы правая часть была неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $20 - t \ge 0$, откуда $t \le 20$. Объединяя с предыдущим условием, получаем $ -1 \le t \le 20$.

Теперь возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

$(\sqrt{t^2 + 9t + 8})^2 = (20 - t)^2$

$t^2 + 9t + 8 = 400 - 40t + t^2$

Сократим $t^2$ в обеих частях и решим полученное линейное уравнение:

$9t + 40t = 400 - 8$

$49t = 392$

$t = \frac{392}{49} = 8$

Полученное значение $t=8$ удовлетворяет условию $-1 \le t \le 20$, значит, это верный корень уравнения для $t$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$2x^2 - 15x = 8$

$2x^2 - 15x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289$

Так как $D = 17^2 > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверка показала, что при найденных значениях $x$ выражение $2x^2-15x$ равно 8, а значит подкоренные выражения в исходном уравнении равны $8+1=9$ и $8+8=16$. Оба они положительны, следовательно, оба корня являются решениями.

Ответ: $8; -\frac{1}{2}$.