Номер 17.12, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.12. Найдите значение выражения $ \cos \frac{11\pi}{56}\cos \frac{3\pi}{56} - \sin \frac{5\pi}{21}\sin \frac{2\pi}{21} - \frac{\sqrt{2}}{4} $.

17.12. Для того чтобы найти значение выражения, мы преобразуем его части, используя тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Исходное выражение:
$cos\frac{11\pi}{56}cos\frac{3\pi}{56} - sin\frac{5\pi}{21}sin\frac{2\pi}{21} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

1. Сначала преобразуем произведение косинусов $cos\frac{11\pi}{56}cos\frac{3\pi}{56}$, используя формулу $cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$.
Пусть $\alpha = \frac{11\pi}{56}$ и $\beta = \frac{3\pi}{56}$. Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = \frac{11\pi}{56} + \frac{3\pi}{56} = \frac{14\pi}{56} = \frac{\pi}{4}$
$\alpha - \beta = \frac{11\pi}{56} - \frac{3\pi}{56} = \frac{8\pi}{56} = \frac{\pi}{7}$
Подставляем найденные значения в формулу:
$cos\frac{11\pi}{56}cos\frac{3\pi}{56} = \frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{7} + cos\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{4}$.

2. Теперь преобразуем произведение синусов $sin\frac{5\pi}{21}sin\frac{2\pi}{21}$, используя формулу $sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$.
Пусть $\alpha = \frac{5\pi}{21}$ и $\beta = \frac{2\pi}{21}$. Найдем сумму и разность углов:
$\alpha - \beta = \frac{5\pi}{21} - \frac{2\pi}{21} = \frac{3\pi}{21} = \frac{\pi}{7}$
$\alpha + \beta = \frac{5\pi}{21} + \frac{2\pi}{21} = \frac{7\pi}{21} = \frac{\pi}{3}$
Подставляем найденные значения в формулу:
$sin\frac{5\pi}{21}sin\frac{2\pi}{21} = \frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{7} - cos\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{7} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}cos\frac{\pi}{7} - \frac{1}{4}$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$(\frac{1}{2}cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - (\frac{1}{2}cos\frac{\pi}{7} - \frac{1}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{4}$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\frac{1}{2}cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$
Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$(\frac{1}{2}cos\frac{\pi}{7} - \frac{1}{2}cos\frac{\pi}{7}) + (\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + \frac{1}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.