Номер 12.10, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.10. Постройте график функции:

а) $y = \arccos(x + 3)$;

б) $y = -\operatorname{arctg}x + \frac{\pi}{2}$;

в) $y = 2\operatorname{arcctg}(x - 1)$;

г) $y = \arcsin 2x$.

Для построения графика функции $y = \arccos(x+3)$ воспользуемся методом преобразования графиков. В качестве базовой функции возьмем $y_0 = \arccos x$.

Свойства функции $y_0 = \arccos x$:
- Область определения: $D(y_0) = [-1, 1]$.
- Область значений: $E(y_0) = [0, \pi]$.
- Ключевые точки: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.
- Функция является монотонно убывающей.

График функции $y = \arccos(x+3)$ получается из графика $y_0 = \arccos x$ путем сдвига влево вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 3 единицы.

Свойства итоговой функции $y = \arccos(x+3)$:
- Область определения: аргумент функции должен быть в пределах от -1 до 1, т.е. $-1 \le x+3 \le 1$. Отсюда получаем $-4 \le x \le -2$. Таким образом, $D(y) = [-4, -2]$.
- Область значений: остается такой же, как и у базовой функции, $E(y) = [0, \pi]$.
- Ключевые точки смещаются на 3 единицы влево:
$(-1, \pi) \rightarrow (-1-3, \pi) = (-4, \pi)$
$(0, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0-3, \frac{\pi}{2}) = (-3, \frac{\pi}{2})$
$(1, 0) \rightarrow (1-3, 0) = (-2, 0)$

Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости точки $(-4, \pi)$, $(-3, \frac{\pi}{2})$ и $(-2, 0)$ и соединить их плавной кривой, которая является частью графика арккосинуса.

Ответ: График функции $y=\arccos(x+3)$ — это график функции $y=\arccos x$, сдвинутый на 3 единицы влево по оси абсцисс. Область определения $D(y) = [-4, -2]$, область значений $E(y) = [0, \pi]$.

Рассмотрим функцию $y = -\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{2}$.

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$. Выразим из него $\operatorname{arcctg} x$: $\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} x$. Таким образом, данная функция эквивалентна функции $y = \operatorname{arcctg} x$.

Следовательно, задача сводится к построению графика функции $y = \operatorname{arcctg} x$.

Свойства функции $y = \operatorname{arcctg} x$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0, \pi)$.
- Горизонтальные асимптоты: $y = \pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.
- Ключевые точки: $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, \frac{\pi}{4})$, $(-1, \frac{3\pi}{4})$.
- Функция является монотонно убывающей.

Для построения графика нужно нарисовать горизонтальные асимптоты $y=0$ (ось Ox) и $y=\pi$, отметить ключевые точки и провести через них плавную убывающую кривую, приближающуюся к асимптотам.

Ответ: Используя тождество $\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} x$, получаем, что $y=\operatorname{arcctg} x$. Это стандартный график с областью определения $(-\infty, \infty)$, областью значений $(0, \pi)$ и горизонтальными асимптотами $y=0$ и $y=\pi$.

Для построения графика функции $y = 2\operatorname{arcctg}(x-1)$ выполним преобразования графика базовой функции $y_0 = \operatorname{arcctg} x$.

График функции $y = 2\operatorname{arcctg}(x-1)$ получается из графика $y_0 = \operatorname{arcctg} x$ в два этапа:

1. Сдвиг графика $y_0 = \operatorname{arcctg} x$ вправо вдоль оси $Ox$ на 1 единицу. Получим график функции $y_1 = \operatorname{arcctg}(x-1)$. Центральная точка $(0, \frac{\pi}{2})$ сместится в $(1, \frac{\pi}{2})$. Асимптоты $y=0$ и $y=\pi$ останутся без изменений.

2. Растяжение графика $y_1 = \operatorname{arcctg}(x-1)$ вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза. Получим искомый график $y = 2\operatorname{arcctg}(x-1)$.

Свойства итоговой функции $y = 2\operatorname{arcctg}(x-1)$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: исходная область $(0, \pi)$ растягивается в 2 раза и становится $(0, 2\pi)$.
- Горизонтальные асимптоты: $y=0$ (т.к. $2 \cdot 0 = 0$) и $y=2\pi$ (т.к. $2 \cdot \pi = 2\pi$).
- Ключевые точки: центральная точка $(1, \frac{\pi}{2})$ переместится в точку $(1, 2 \cdot \frac{\pi}{2}) = (1, \pi)$.
Найдем еще несколько точек для точности. При $x=2$, $y = 2\operatorname{arcctg}(2-1) = 2\operatorname{arcctg}(1) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Точка $(2, \frac{\pi}{2})$.
При $x=0$, $y = 2\operatorname{arcctg}(0-1) = 2\operatorname{arcctg}(-1) = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$. Точка $(0, \frac{3\pi}{2})$.

Ответ: График получается из $y=\operatorname{arcctg} x$ сдвигом на 1 вправо и растяжением в 2 раза по оси ординат. Область значений $(0, 2\pi)$, асимптоты $y=0$ и $y=2\pi$. При $x=0$ значение $y=\frac{3\pi}{2}$. Коэффициент при $\pi$ является неправильной дробью $\frac{3}{2}$, целая часть которой равна 1.

Для построения графика функции $y = \arcsin(2x)$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y_0 = \arcsin x$.

Свойства функции $y_0 = \arcsin x$:
- Область определения: $D(y_0) = [-1, 1]$.
- Область значений: $E(y_0) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.
- Функция является монотонно возрастающей.

График функции $y = \arcsin(2x)$ получается из графика $y_0 = \arcsin x$ путем сжатия по горизонтали (к оси $Oy$) в 2 раза.

Свойства итоговой функции $y = \arcsin(2x)$:
- Область определения: $-1 \le 2x \le 1 \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$. Итак, $D(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
- Область значений: остается без изменений, $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- Ключевые точки: абсциссы делятся на 2:
$(-1, -\frac{\pi}{2}) \rightarrow (-\frac{1}{2}, -\frac{\pi}{2})$
$(0, 0) \rightarrow (0, 0)$
$(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (\frac{1}{2}, \frac{\pi}{2})$

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(-\frac{1}{2}, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$ и $(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{2})$ и соединить их плавной кривой, которая является сжатой версией графика арксинуса.

Ответ: График функции $y=\arcsin(2x)$ — это график функции $y=\arcsin x$, сжатый в 2 раза к оси ординат. Область определения $D(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.