Номер 12.7, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.7. Постройте график функции:

а) $y = \sin(\arcsin(2x - 3))$;

б) $y = \cos(\arccos(x^2 - 1))$.

а) Рассмотрим функцию $y = \sin(\arcsin(2x - 3))$.

По определению арксинуса, для любого $t$ из области определения $[-1, 1]$ справедливо тождество $\sin(\arcsin(t)) = t$. Применив это тождество к нашей функции, мы можем упростить ее до вида $y = 2x - 3$.

Однако это упрощение возможно только при условии, что аргумент арксинуса принадлежит его области определения. Таким образом, должно выполняться неравенство:

$-1 \le 2x - 3 \le 1$

Решим это двойное неравенство. Сначала прибавим 3 ко всем его частям:

$-1 + 3 \le 2x \le 1 + 3$

$2 \le 2x \le 4$

Теперь разделим все части на 2:

$1 \le x \le 2$

Итак, область определения исходной функции — это отрезок $D(y) = [1, 2]$.

Следовательно, графиком функции $y = \sin(\arcsin(2x - 3))$ является не вся прямая $y = 2x - 3$, а только её отрезок, для которого $x$ изменяется от 1 до 2. Для построения графика найдем координаты конечных точек этого отрезка.

При $x = 1$, значение функции $y = 2(1) - 3 = -1$. Координаты начальной точки отрезка: $(1, -1)$.

При $x = 2$, значение функции $y = 2(2) - 3 = 1$. Координаты конечной точки отрезка: $(2, 1)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=2x-3$, который соединяет точки с координатами $(1, -1)$ и $(2, 1)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \cos(\arccos(x^2 - 1))$.

По определению арккосинуса, для любого $t$ из области определения $[-1, 1]$ справедливо тождество $\cos(\arccos(t)) = t$. Применив это тождество, мы можем упростить функцию до вида $y = x^2 - 1$.

Данное упрощение возможно только при условии, что аргумент арккосинуса принадлежит его области определения. Таким образом, должно выполняться неравенство:

$-1 \le x^2 - 1 \le 1$

Решим это двойное неравенство. Сначала прибавим 1 ко всем его частям:

$-1 + 1 \le x^2 \le 1 + 1$

$0 \le x^2 \le 2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств: $\begin{cases} x^2 \ge 0 \\ x^2 \le 2 \end{cases}$.

Первое неравенство, $x^2 \ge 0$, выполняется для любого действительного числа $x$.

Второе неравенство, $x^2 \le 2$, равносильно $|x| \le \sqrt{2}$, что соответствует промежутку $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Общим решением системы, а следовательно и областью определения исходной функции, является отрезок $D(y) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Таким образом, графиком функции является не вся парабола $y = x^2 - 1$, а только её часть (дуга), для которой $x$ изменяется от $-\sqrt{2}$ до $\sqrt{2}$.

Парабола $y = x^2 - 1$ имеет вершину в точке $(0, -1)$ (при $x=0$, $y=0^2-1=-1$), и ее ветви направлены вверх. Для построения графика найдем координаты конечных точек дуги.

При $x = -\sqrt{2}$, значение функции $y = (-\sqrt{2})^2 - 1 = 2 - 1 = 1$. Координаты одной конечной точки: $(-\sqrt{2}, 1)$.

При $x = \sqrt{2}$, значение функции $y = (\sqrt{2})^2 - 1 = 2 - 1 = 1$. Координаты другой конечной точки: $(\sqrt{2}, 1)$.

Ответ: Графиком функции является дуга параболы $y=x^2-1$, вершина которой находится в точке $(0, -1)$, а концы дуги — в точках $(-\sqrt{2}, 1)$ и $(\sqrt{2}, 1)$.