Номер 10.8, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.8. Найдите наименьшее и наибольшее целые значения функции:

а) $y = 1,2 \cos \frac{x}{5} + 3;$

б) $y = -3,28 \sin \left(9x + \frac{\pi}{12}\right) - 1.$

а) Чтобы найти наименьшее и наибольшее целые значения функции $y = 1,2\cos\frac{x}{5} + 3$, необходимо определить ее область значений. В основе этой функции лежит косинус, область значений которого представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого значения аргумента справедливо неравенство:

$-1 \le \cos\frac{x}{5} \le 1$

Далее выполним преобразования этого неравенства в соответствии с видом заданной функции. Сначала умножим все части неравенства на 1,2:

$1,2 \cdot (-1) \le 1,2 \cdot \cos\frac{x}{5} \le 1,2 \cdot 1$

$-1,2 \le 1,2\cos\frac{x}{5} \le 1,2$

Теперь прибавим 3 ко всем частям полученного неравенства:

$-1,2 + 3 \le 1,2\cos\frac{x}{5} + 3 \le 1,2 + 3$

$1,8 \le y \le 4,2$

Итак, область значений функции $y$ — это промежуток $[1,8; 4,2]$. Нам нужно найти целые числа, которые входят в этот промежуток. Такими числами являются 2, 3 и 4. Из них наименьшее — это 2, а наибольшее — 4.

Ответ: наименьшее целое значение 2, наибольшее целое значение 4.

б) Для нахождения наименьшего и наибольшего целых значений функции $y = -3,28\sin(9x + \frac{\pi}{12}) - 1$ воспользуемся тем, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно:

$-1 \le \sin(9x + \frac{\pi}{12}) \le 1$

Умножим все части этого неравенства на коэффициент -3,28. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства необходимо изменить на противоположные:

$(-3,28) \cdot (-1) \ge -3,28 \cdot \sin(9x + \frac{\pi}{12}) \ge (-3,28) \cdot 1$

$3,28 \ge -3,28\sin(9x + \frac{\pi}{12}) \ge -3,28$

Для удобства запишем это неравенство в стандартном порядке (от меньшего к большему):

$-3,28 \le -3,28\sin(9x + \frac{\pi}{12}) \le 3,28$

На последнем шаге вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3,28 - 1 \le -3,28\sin(9x + \frac{\pi}{12}) - 1 \le 3,28 - 1$

$-4,28 \le y \le 2,28$

Таким образом, область значений функции $y$ — это промежуток $[-4,28; 2,28]$. Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2. Наименьшим целым значением является -4, а наибольшим — 2.

Ответ: наименьшее целое значение -4, наибольшее целое значение 2.