Номер 10.12, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.12. Верно ли, что периодом функции $y = \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi x}{5} + 1\right) - 15$ является число:

а) 10;

б) 15;

в) -20;

г) -100?

Для нахождения периода функции вида $y = A \cos(kx + b) + C$, необходимо определить основной (наименьший положительный) период. Стандартная функция $y = \cos(x)$ имеет основной период $2\pi$. Если аргумент косинуса умножается на коэффициент $k$, то основной период функции $T_0$ вычисляется по формуле:

$T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$

В нашей функции $y = \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi x}{5} + 1\right) - 15$ коэффициент при переменной $x$ равен $k = \frac{\pi}{5}$.

Теперь вычислим основной период $T_0$ для данной функции:

$T_0 = \frac{2\pi}{\left|\frac{\pi}{5}\right|} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}} = 2\pi \cdot \frac{5}{\pi} = 10$.

Наименьший положительный период функции равен 10. Любой другой период $T$ этой функции должен быть кратен основному периоду, то есть $T = n \cdot T_0$, где $n$ — натуральное число. Также, по определению, период функции является положительным числом. Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

а) 10;
Число 10 является наименьшим положительным периодом функции, который мы вычислили ($T_0=10$). Следовательно, утверждение, что 10 является периодом, верно.
Ответ: 10

б) 15;
Чтобы число 15 было периодом, оно должно быть кратно основному периоду 10. Найдем их отношение: $\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Это неправильная дробь, при выделении целой части получаем $1\frac{1}{2}$. Так как это число не является целым, 15 не является периодом данной функции. Утверждение неверно.
Ответ: не является периодом.

в) -20;
По определению, период функции — это положительное число. Так как число -20 отрицательное, оно не может являться периодом функции, несмотря на то, что $f(x-20)=f(x)$, поскольку $-20 = -2 \cdot T_0$. Утверждение неверно.
Ответ: не является периодом.

г) -100?
Аналогично предыдущему пункту, период функции должен быть положительным. Число -100 является отрицательным, поэтому оно не может быть периодом. Утверждение неверно.
Ответ: не является периодом.