Номер 10.4, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.4. Найдите значение функции $y=\frac{1}{3}\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-5$ при значении

аргумента, равном:

а) $-\frac{\pi}{2}$;

б) $-\frac{\pi}{3}$;

в) $0$;

г) $\frac{2\pi}{3}$.

Для нахождения значения функции $y = \frac{1}{3}\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 5$, подставим в нее поочередно заданные значения аргумента $x$.

а) При $x = -\frac{\pi}{2}$:

Подставляем значение в функцию:

$y = \frac{1}{3}\cos(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) - 5$.

Приводим дроби в аргументе косинуса к общему знаменателю:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Теперь функция выглядит так: $y = \frac{1}{3}\cos(-\frac{\pi}{6}) - 5$.

Используя свойство чётности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и зная табличное значение $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, вычисляем $y$:

$y = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 5 = \frac{\sqrt{3}}{6} - 5$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6} - 5$.

б) При $x = -\frac{\pi}{3}$:

Подставляем значение в функцию:

$y = \frac{1}{3}\cos(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - 5 = \frac{1}{3}\cos(0) - 5$.

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$y = \frac{1}{3} \cdot 1 - 5 = \frac{1}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{14}{3}$.

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3}$.

Ответ: $\mathbf{-4}\frac{2}{3}$.

в) При $x = 0$:

Подставляем значение в функцию:

$y = \frac{1}{3}\cos(0 + \frac{\pi}{3}) - 5 = \frac{1}{3}\cos(\frac{\pi}{3}) - 5$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - 5 = \frac{1}{6} - 5 = \frac{1}{6} - \frac{30}{6} = -\frac{29}{6}$.

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6}$.

Ответ: $\mathbf{-4}\frac{5}{6}$.

г) При $x = \frac{2\pi}{3}$:

Подставляем значение в функцию:

$y = \frac{1}{3}\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - 5 = \frac{1}{3}\cos(\frac{3\pi}{3}) - 5 = \frac{1}{3}\cos(\pi) - 5$.

Так как $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$y = \frac{1}{3} \cdot (-1) - 5 = -\frac{1}{3} - 5 = -\frac{1}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{16}{3}$.

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$.

Ответ: $\mathbf{-5}\frac{1}{3}$.