Номер 10.3, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.3. Найдите $f(x_0)$, если:

a) $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$, $x_0 = \frac{4\pi}{3}$;

б) $f(x) = -2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 1$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$;

в) $f(x) = 4\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3$, $x_0 = \frac{11\pi}{6}$;

г) $f(x) = 7 - \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, $x_0 = -\frac{2\pi}{3}$.

а) Для того чтобы найти $f(x_0)$, подставим значение $x_0 = \frac{4\pi}{3}$ в функцию $f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{6}) + 2$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) + 2$.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi - \pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
Теперь выражение принимает вид:
$f(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) + 2$.
Для вычисления значения синуса используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Подставляем найденное значение и вычисляем результат:
$f(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{3}{2}$ в смешанное число, выделив целую часть: $1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б) Подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ в функцию $f(x) = -2\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1$.
$f(-\frac{\pi}{2}) = -2\sin(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) - 1$.
Упростим аргумент синуса:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.
Теперь выражение выглядит так:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -2\sin(-\frac{\pi}{4}) - 1$.
Используем свойство нечетности функции синус, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -2(-\sin(\frac{\pi}{4})) - 1 = 2\sin(\frac{\pi}{4}) - 1$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1$.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

в) Подставим значение $x_0 = \frac{11\pi}{6}$ в функцию $f(x) = 4\sin(x + \frac{\pi}{6}) - 3$.
$f(\frac{11\pi}{6}) = 4\sin(\frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) - 3$.
Упростим аргумент синуса:
$\frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} = 2\pi$.
Выражение принимает вид:
$f(\frac{11\pi}{6}) = 4\sin(2\pi) - 3$.
Зная, что $\sin(2\pi) = 0$, вычисляем значение функции:
$f(\frac{11\pi}{6}) = 4 \cdot 0 - 3 = -3$.
Ответ: $-3$.

г) Подставим значение $x_0 = -\frac{2\pi}{3}$ в функцию $f(x) = 7 - \sin(x - \frac{\pi}{3})$.
$f(-\frac{2\pi}{3}) = 7 - \sin(-\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3})$.
Упростим аргумент синуса:
$-\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{3} = -\pi$.
Выражение принимает вид:
$f(-\frac{2\pi}{3}) = 7 - \sin(-\pi)$.
Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$f(-\frac{2\pi}{3}) = 7 - (-\sin(\pi)) = 7 + \sin(\pi)$.
Так как $\sin(\pi) = 0$, вычисляем значение функции:
$f(-\frac{2\pi}{3}) = 7 + 0 = 7$.
Ответ: $7$.