Номер 7.21, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.21. а) На единичной окружности отметьте точки, соответствующие углам $alpha$, равным $0$; $frac{pi}{6}$; $frac{pi}{4}$; $frac{pi}{3}$; $frac{pi}{2}$.

б) Отметьте точки, симметричные полученным точкам относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат.

в) Определите радианную меру всех углов, которым соответствуют отмеченные точки.

г) Найдите синус и косинус каждого из полученных углов.

а) На единичной окружности (окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом 1) точки, соответствующие углам $\alpha$, откладываемым от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки, имеют следующие координаты:

• При $\alpha = 0$ точка $P_0$ имеет координаты $(1, 0)$. Это самая правая точка окружности.
• При $\alpha = \frac{\pi}{6}$ (30°) точка $P_1$ имеет координаты $(\cos\frac{\pi}{6}, \sin\frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• При $\alpha = \frac{\pi}{4}$ (45°) точка $P_2$ имеет координаты $(\cos\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
• При $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (60°) точка $P_3$ имеет координаты $(\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• При $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (90°) точка $P_4$ имеет координаты $(\cos\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\pi}{2}) = (0, 1)$. Это самая верхняя точка окружности.

Все эти точки расположены в первой координатной четверти или на её границах.

Ответ: Точки, соответствующие заданным углам: $P_0(1,0)$, $P_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $P_3(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $P_4(0,1)$.

б) Отметим точки, симметричные полученным в пункте а). Для точки $P(x, y)$ на единичной окружности:

• Симметричная относительно оси абсцисс (оси Ox) имеет координаты $(x, -y)$, что соответствует углу $-\alpha$.
• Симметричная относительно оси ординат (оси Oy) имеет координаты $(-x, y)$, что соответствует углу $\pi - \alpha$.
• Симметричная относительно начала координат (O) имеет координаты $(-x, -y)$, что соответствует углу $\pi + \alpha$.

Новые точки, полученные в результате симметрии:

1. Относительно оси абсцисс:
   • $P_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \to (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, угол $\frac{11\pi}{6}$.
   • $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \to (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, угол $\frac{7\pi}{4}$.
   • $P_3(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \to (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, угол $\frac{5\pi}{3}$.
   • $P_4(0, 1) \to (0, -1)$, угол $\frac{3\pi}{2}$.
   • $P_0(1, 0)$ отображается в себя.
2. Относительно оси ординат:
   • $P_0(1, 0) \to (-1, 0)$, угол $\pi$.
   • $P_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \to (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, угол $\frac{5\pi}{6}$.
   • $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \to (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, угол $\frac{3\pi}{4}$.
   • $P_3(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \to (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, угол $\frac{2\pi}{3}$.
   • $P_4(0, 1)$ отображается в себя.
3. Относительно начала координат:
   • $P_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \to (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, угол $\frac{7\pi}{6}$.
   • $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \to (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, угол $\frac{5\pi}{4}$.
   • $P_3(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \to (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, угол $\frac{4\pi}{3}$.
   • $P_0(1, 0) \to (-1, 0)$, что совпадает с симметрией относительно оси Oy.
   • $P_4(0, 1) \to (0, -1)$, что совпадает с симметрией относительно оси Ox.

Ответ: В результате симметрий к исходным 5 точкам добавляются точки, соответствующие углам во II, III и IV координатных четвертях.

в) Определим радианную меру всех уникальных углов, которым соответствуют отмеченные точки, в пределах одного оборота от $0$ до $2\pi$. Всего получилось 16 различных точек (и соответствующих им углов).

Ответ: Радиановые меры всех отмеченных точек в порядке возрастания: $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \mathbf{1}\frac{1}{6}\pi \text{ (т.е. } \frac{7\pi}{6}\text{)}, \mathbf{1}\frac{1}{4}\pi \text{ (т.е. } \frac{5\pi}{4}\text{)}, \mathbf{1}\frac{1}{3}\pi \text{ (т.е. } \frac{4\pi}{3}\text{)}, \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi \text{ (т.е. } \frac{3\pi}{2}\text{)}, \mathbf{1}\frac{2}{3}\pi \text{ (т.е. } \frac{5\pi}{3}\text{)}, \mathbf{1}\frac{3}{4}\pi \text{ (т.е. } \frac{7\pi}{4}\text{)}, \mathbf{1}\frac{5}{6}\pi \text{ (т.е. } \frac{11\pi}{6}\text{)}$.

г) Синус и косинус каждого из полученных углов $\alpha$ равны ординате и абсциссе соответствующей точки на единичной окружности: $(\cos\alpha, \sin\alpha)$.

Ответ: Значения синусов и косинусов для каждого из 16 углов представлены в таблице: