Номер 7.18, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.18. Сравните значения выражений $sin\alpha$ и $sin2\alpha$, если известно, что:

а) $ \alpha = 57^\circ $;

б) $ \alpha = \frac{5\pi}{7} $;

в) $ \alpha = 5 $.

Для сравнения значений выражений $ \sin \alpha $ и $ \sin 2\alpha $ рассмотрим их разность. Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получим:

$ \sin 2\alpha - \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha = \sin \alpha (2 \cos \alpha - 1) $

Знак этого выражения определит, какое из исходных значений больше. Если разность положительна, то $ \sin 2\alpha > \sin \alpha $. Если отрицательна, то $ \sin 2\alpha < \sin \alpha $.

Угол $ \alpha = 57^\circ $ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 57^\circ < 90^\circ$). В этой четверти $ \sin 57^\circ > 0 $. Для определения знака второго множителя $ (2 \cos \alpha - 1) $, сравним $ \cos 57^\circ $ со значением $ \frac{1}{2} $. Мы знаем, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $. Функция косинуса в первой четверти убывает, поэтому из того, что $ 57^\circ < 60^\circ $, следует $ \cos 57^\circ > \cos 60^\circ $. Значит, $ \cos 57^\circ > \frac{1}{2} $, откуда $ 2 \cos 57^\circ > 1 $, и, следовательно, $ 2 \cos 57^\circ - 1 > 0 $. Произведение $ \sin 57^\circ (2 \cos 57^\circ - 1) $ является произведением двух положительных чисел, поэтому оно положительно.

Так как $ \sin 2\alpha - \sin \alpha > 0 $, то $ \sin 2\alpha > \sin \alpha $.

Ответ: $ \sin 2\alpha > \sin \alpha $.

Угол $ \alpha = \frac{5\pi}{7} $. Так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi $ (поскольку $ \frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7} $), угол находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен: $ \sin \frac{5\pi}{7} > 0 $. Косинус во второй четверти отрицателен: $ \cos \frac{5\pi}{7} < 0 $. Следовательно, выражение $ 2 \cos \frac{5\pi}{7} - 1 $ также отрицательно (как разность отрицательного числа и единицы). Произведение $ \sin \frac{5\pi}{7} (2 \cos \frac{5\pi}{7} - 1) $ является произведением положительного и отрицательного чисел, поэтому оно отрицательно.

Так как $ \sin 2\alpha - \sin \alpha < 0 $, то $ \sin 2\alpha < \sin \alpha $.

Ответ: $ \sin 2\alpha < \sin \alpha $.

Угол $ \alpha = 5 $ дан в радианах. Используя приближение $ \pi \approx 3.14 $, определяем четверть: $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $. Так как $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $, угол находится в четвертой четверти. В четвертой четверти синус отрицателен: $ \sin 5 < 0 $. Косинус в четвертой четверти положителен. Сравним $ \cos 5 $ с $ \frac{1}{2} $. В этой четверти равенство $ \cos x = \frac{1}{2} $ достигается при $ x = \frac{5\pi}{3} \approx 5.236 $. Функция косинуса на интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ возрастает. Поскольку $ 5 < \frac{5\pi}{3} $, то $ \cos 5 < \cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} $. Отсюда $ 2 \cos 5 < 1 $, и, следовательно, $ 2 \cos 5 - 1 < 0 $. Произведение $ \sin 5 (2 \cos 5 - 1) $ является произведением двух отрицательных чисел, поэтому оно положительно.

Так как $ \sin 2\alpha - \sin \alpha > 0 $, то $ \sin 2\alpha > \sin \alpha $.

Ответ: $ \sin 2\alpha > \sin \alpha $.