Номер 4.5, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.5. Постройте график функции:

а) $y = [x^3]$

б) $y = \{x^3\}$

в) $y = [x]^3$

г) $y = \{x\}^3$

Для построения графиков данных функций, необходимо вспомнить определения целой и дробной части числа.

Целая часть числа $x$ (антье, пол), обозначаемая как $[x]$, — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[5] = 5$, $[-3.14] = -4$.

Дробная часть числа $x$, обозначаемая как $\{x\}$, — это разность между самим числом и его целой частью: $\{x\} = x - [x]$. Значение дробной части всегда находится в промежутке $[0, 1)$. Например, $\{3.14\} = 0.14$, $\{5\} = 0$, $\{-3.14\} = -3.14 - (-4) = 0.86$.

а) $y = [x^3]$

Ответ:

Это функция, которая принимает значение, равное целой части от куба аргумента $x$. График этой функции является кусочно-постоянным (ступенчатым). Значение функции $y$ меняется скачком в тех точках $x$, где $x^3$ становится равным целому числу.

Пусть $y=n$, где $n$ — целое число. Тогда по определению целой части:

$n \le x^3 < n+1$

Извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{n} \le x < \sqrt[3]{n+1}$

Таким образом, на каждом промежутке $[\sqrt[3]{n}, \sqrt[3]{n+1})$ функция принимает постоянное значение $y=n$.

Рассмотрим несколько примеров:

• Если $n = -1$, то $-1 \le x^3 < 0 \implies -1 \le x < 0$. На этом промежутке $y=-1$.
• Если $n = 0$, то $0 \le x^3 < 1 \implies 0 \le x < 1$. На этом промежутке $y=0$.
• Если $n = 1$, то $1 \le x^3 < 2 \implies 1 \le x < \sqrt[3]{2}$. На этом промежутке $y=1$.
• Если $n = 2$, то $2 \le x^3 < 3 \implies \sqrt[3]{2} \le x < \sqrt[3]{3}$. На этом промежутке $y=2$.

График состоит из горизонтальных отрезков. Левая граница каждого отрезка (точка $(\sqrt[3]{n}, n)$) включается в график, а правая (точка $(\sqrt[3]{n+1}, n)$) — не включается. Длина отрезков $\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$ уменьшается с ростом $|n|$.

б) $y = \{x^3\}$

Ответ:

Это функция, равная дробной части от $x^3$. По определению, $\{x^3\} = x^3 - [x^3]$. Область значений этой функции — промежуток $[0, 1)$.

Рассмотрим промежутки, на которых $[x^3]$ постоянно. Как мы выяснили в пункте а), $[x^3] = n$ для $x \in [\sqrt[3]{n}, \sqrt[3]{n+1})$, где $n$ — целое число.

На каждом таком промежутке функция имеет вид $y = x^3 - n$. Это означает, что график состоит из фрагментов кривой $y=x^3$, сдвинутых вниз на целое число $n$.

Рассмотрим несколько примеров:

• При $x \in [0, 1)$, $[x^3]=0$, и $y = x^3$. График совпадает с $y=x^3$.
• При $x \in [1, \sqrt[3]{2})$, $[x^3]=1$, и $y = x^3 - 1$. График является частью кривой $y=x^3$, сдвинутой на 1 вниз.
• При $x \in [\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3})$, $[x^3]=2$, и $y = x^3 - 2$. График является частью кривой $y=x^3$, сдвинутой на 2 вниз.
• При $x \in [-1, 0)$, $[x^3]=-1$, и $y = x^3 - (-1) = x^3 + 1$. График является частью кривой $y=x^3$, сдвинутой на 1 вверх.

В точках $x=\sqrt[3]{n}$ (где $n$ — целое) значение функции $y = \{(\sqrt[3]{n})^3\} = \{n\} = 0$. В этих точках график касается оси абсцисс. Функция имеет разрывы первого рода в точках $x = \sqrt[3]{n}$ для всех целых $n \neq 0$. В этих точках значение функции скачком меняется с величины, стремящейся к 1, на 0.

в) $y = [x]^3$

Ответ:

Это функция, равная кубу целой части от $x$. График этой функции также является кусочно-постоянным.

Значение $[x]$ постоянно на всех полуинтервалах вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число. На таком промежутке $[x]=n$.

Следовательно, на каждом промежутке $[n, n+1)$ функция принимает постоянное значение $y = n^3$.

Рассмотрим несколько примеров:

• При $x \in [-2, -1)$, $[x]=-2$, и $y = (-2)^3 = -8$.
• При $x \in [-1, 0)$, $[x]=-1$, и $y = (-1)^3 = -1$.
• При $x \in [0, 1)$, $[x]=0$, и $y = 0^3 = 0$.
• При $x \in [1, 2)$, $[x]=1$, и $y = 1^3 = 1$.
• При $x \in [2, 3)$, $[x]=2$, и $y = 2^3 = 8$.

График состоит из горизонтальных отрезков длиной 1. На промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y=n^3$. Левая точка $(n, n^3)$ включается, а правая $(n+1, n^3)$ — нет. Высота "ступенек" растет очень быстро с ростом $|n|$ (как кубическая функция).

г) $y = \{x\}^3$

Ответ:

Это функция, равная кубу дробной части от $x$.

Функция дробной части $\{x\}$ является периодической с периодом 1. Следовательно, функция $y = \{x\}^3$ также будет периодической с периодом 1. Достаточно построить её график на одном периоде, например, на промежутке $[0, 1)$, а затем продолжить его на всю числовую ось.

На промежутке $[0, 1)$, имеем $[x]=0$, поэтому $\{x\} = x - 0 = x$. Таким образом, на этом промежутке $y=x^3$.

Для любого целого $n$, на промежутке $[n, n+1)$ имеем $[x]=n$, поэтому $\{x\} = x-n$. Функция на этом промежутке имеет вид $y = (x-n)^3$. Это график функции $y=x^3$, сдвинутый на $n$ единиц вправо.

Таким образом, график функции состоит из повторяющихся фрагментов:

• На каждом промежутке $[n, n+1)$ график совпадает с кривой $y=(x-n)^3$.
• В целых точках $x=n$, значение функции $y = \{n\}^3 = 0^3 = 0$.
• Предел слева в целой точке $n$: $\lim_{x \to n^-} \{x\}^3 = 1^3 = 1$.

График представляет собой "пилообразную" кривую, состоящую из частей кубических парабол. Каждая часть начинается в точке $(n, 0)$ (включительно) и заканчивается в точке $(n+1, 1)$ (не включительно). В каждой целой точке $x=n$ происходит разрыв: значение функции скачком падает с 1 (предельное значение слева) до 0.