Номер 964, страница 184 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 4,0 \text{ кг}$
$v_x = A + Bt$
$A = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$B = -2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
$t_1 = 4,0 \text{ с}$
$n = 4,0$

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

$E_{k1}$ - кинетическую энергию тела в момент времени $t_1$.
$t_{min}$ - минимальное время, через которое кинетическая энергия уменьшится в $n$ раз.

Решение:

Определите кинетическую энергию тела через время t = 4,0 с после начала движения.

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Поскольку движение происходит вдоль оси Ox, скорость $v$ равна модулю проекции скорости $v_x$, и формула принимает вид $E_k = \frac{m v_x^2}{2}$.

Сначала найдем проекцию скорости тела в момент времени $t_1 = 4,0 \text{ с}$, подставив значения в заданное уравнение:$v_x(t_1) = A + B t_1 = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}} + (-2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) \cdot 4,0 \text{ с} = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}} - 8,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Теперь вычислим кинетическую энергию $E_{k1}$ в этот момент времени:$E_{k1} = \frac{m (v_x(t_1))^2}{2} = \frac{4,0 \text{ кг} \cdot (4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2} = \frac{4,0 \cdot 16}{2} \text{ Дж} = 32 \text{ Дж}$.

Ответ: 32 Дж.

Через какое минимальное время кинетическая энергия тела уменьшится в n = 4,0 раза по сравнению с начальной?

Сначала определим начальную кинетическую энергию $E_{k0}$ тела (в момент времени $t = 0$).Начальная проекция скорости $v_{x0}$ при $t = 0$ равна:$v_{x0} = A + B \cdot 0 = A = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Начальная кинетическая энергия $E_{k0}$ равна:$E_{k0} = \frac{m v_{x0}^2}{2} = \frac{4,0 \text{ кг} \cdot (12 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2} = \frac{4,0 \cdot 144}{2} \text{ Дж} = 288 \text{ Дж}$.

По условию, кинетическая энергия должна уменьшиться в $n = 4,0$ раза. Найдем искомое значение энергии $E_{k2}$:$E_{k2} = \frac{E_{k0}}{n} = \frac{288 \text{ Дж}}{4,0} = 72 \text{ Дж}$.

Теперь найдем, при какой проекции скорости $v_{x2}$ тело будет обладать такой энергией:$E_{k2} = \frac{m v_{x2}^2}{2} \implies v_{x2}^2 = \frac{2 E_{k2}}{m} = \frac{2 \cdot 72 \text{ Дж}}{4,0 \text{ кг}} = 36 \, (\frac{\text{м}}{\text{с}})^2$.

Отсюда модуль проекции скорости $|v_{x2}| = \sqrt{36} = 6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Это означает, что проекция скорости может быть как $v_{x2} = 6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, так и $v_{x2} = -6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, так как квадрат обоих чисел равен 36.

Найдем моменты времени, соответствующие этим двум значениям скорости, решив уравнение $v_x(t) = A + Bt$:
1) Для $v_{x2} = 6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$:
$6,0 = 12 - 2,0 \cdot t$
$2,0t = 12 - 6,0$
$2,0t = 6,0 \implies t = 3,0 \text{ с}$.

2) Для $v_{x2} = -6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$:
$-6,0 = 12 - 2,0 \cdot t$
$2,0t = 12 + 6,0$
$2,0t = 18,0 \implies t = 9,0 \text{ с}$.

Мы получили два момента времени, в которые кинетическая энергия тела будет в 4 раза меньше начальной: $3,0 \text{ с}$ и $9,0 \text{ с}$. По условию задачи требуется найти минимальное время, следовательно, $t_{min} = 3,0 \text{ с}$.

Ответ: 3,0 с.