Номер 961, страница 184 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость мяча: $v_0 = 10 \frac{м}{с}$
Конечная скорость мяча: $v = 20 \frac{м}{с}$
Изменение кинетической энергии: $\Delta E_к = 10 \text{ Дж}$
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль изменения импульса мяча: $|\Delta \vec{p}|$.

Решение:

Изменение кинетической энергии мяча $\Delta E_к$ определяется как разность его конечной ($E_к$) и начальной ($E_{к0}$) кинетических энергий:
$\Delta E_к = E_к - E_{к0} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = \frac{m}{2}(v^2 - v_0^2)$, где $m$ — масса мяча.

Изменение импульса $\Delta \vec{p}$ — это векторная величина, равная разности конечного ($\vec{p}$) и начального ($\vec{p}_0$) импульсов.
$\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0 = m\vec{v} - m\vec{v}_0$.
Поскольку мяч после удара движется в противоположную сторону, выберем ось, направленную вдоль начальной скорости $\vec{v}_0$. Тогда проекция начальной скорости на эту ось будет $v_{0x} = v_0$, а проекция конечной скорости будет $v_x = -v$.
Проекция изменения импульса на эту ось:
$\Delta p_x = m v_x - m v_{0x} = m(-v) - m(v_0) = -m(v + v_0)$.
Модуль изменения импульса — это абсолютное значение этой величины:
$|\Delta \vec{p}| = |-m(v + v_0)| = m(v + v_0)$.

Чтобы найти связь между изменением импульса и изменением кинетической энергии, выразим массу из формулы для $\Delta E_к$:
$m = \frac{2\Delta E_к}{v^2 - v_0^2}$.
Теперь подставим это выражение для массы в формулу для модуля изменения импульса:
$|\Delta \vec{p}| = \frac{2\Delta E_к}{v^2 - v_0^2}(v + v_0)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к знаменателю:
$|\Delta \vec{p}| = \frac{2\Delta E_к}{(v - v_0)(v + v_0)}(v + v_0)$.
Сократив $(v + v_0)$, получим простую формулу для расчёта:
$|\Delta \vec{p}| = \frac{2\Delta E_к}{v - v_0}$.

Подставим числовые значения из условия задачи:
$|\Delta \vec{p}| = \frac{2 \cdot 10 \text{ Дж}}{20 \frac{м}{с} - 10 \frac{м}{с}} = \frac{20 \text{ Дж}}{10 \frac{м}{с}} = 2 \text{ кг} \cdot \frac{м}{с}$.

Ответ: $2 \, \text{кг} \cdot \frac{м}{с}$.