Номер 24.28, страница 118 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.28. Решите двойное неравенство двумя способами:

а) $-2,4 \le 0,6x + 3,6 \le 5,4$;

б) $-71,7 < 3x - 0,3 \le 9,6$;

в) $-3,1 \le 5 - 0,1x < 4,23$;

г) $-6,4 < 3 - 0,2x < 2,48$.

а) $-2,4 \le 0,6x + 3,6 \le 5,4$

Способ 1: Решение путем преобразования двойного неравенства

Вычтем 3,6 из всех частей неравенства:

$-2,4 - 3,6 \le 0,6x + 3,6 - 3,6 \le 5,4 - 3,6$

$-6 \le 0,6x \le 1,8$

Разделим все части неравенства на 0,6. Так как 0,6 - положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-6}{0,6} \le \frac{0,6x}{0,6} \le \frac{1,8}{0,6}$

$-10 \le x \le 3$

Способ 2: Решение с помощью системы неравенств

Данное двойное неравенство равносильно системе двух линейных неравенств:

$ \begin{cases} 0,6x + 3,6 \ge -2,4 \\ 0,6x + 3,6 \le 5,4 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$0,6x \ge -2,4 - 3,6$

$0,6x \ge -6$

$x \ge \frac{-6}{0,6}$

$x \ge -10$

Решим второе неравенство:

$0,6x \le 5,4 - 3,6$

$0,6x \le 1,8$

$x \le \frac{1,8}{0,6}$

$x \le 3$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x \ge -10$ и $x \le 3$, то есть $-10 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-10; 3]$.

б) $-71,7 < 3x - 0,3 \le 9,6$

Способ 1: Решение путем преобразования двойного неравенства

Прибавим 0,3 ко всем частям неравенства:

$-71,7 + 0,3 < 3x - 0,3 + 0,3 \le 9,6 + 0,3$

$-71,4 < 3x \le 9,9$

Разделим все части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется:

$\frac{-71,4}{3} < \frac{3x}{3} \le \frac{9,9}{3}$

$-23,8 < x \le 3,3$

Способ 2: Решение с помощью системы неравенств

Данное двойное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 3x - 0,3 > -71,7 \\ 3x - 0,3 \le 9,6 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$3x > -71,7 + 0,3$

$3x > -71,4$

$x > \frac{-71,4}{3}$

$x > -23,8$

Решим второе неравенство:

$3x \le 9,6 + 0,3$

$3x \le 9,9$

$x \le \frac{9,9}{3}$

$x \le 3,3$

Пересечением решений $x > -23,8$ и $x \le 3,3$ является промежуток $-23,8 < x \le 3,3$.

Ответ: $x \in (-23,8; 3,3]$.

в) $-3,1 \le 5 - 0,1x < 4,23$

Способ 1: Решение путем преобразования двойного неравенства

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-3,1 - 5 \le 5 - 0,1x - 5 < 4,23 - 5$

$-8,1 \le -0,1x < -0,77$

Разделим все части неравенства на -0,1. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-8,1}{-0,1} \ge \frac{-0,1x}{-0,1} > \frac{-0,77}{-0,1}$

$81 \ge x > 7,7$

Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):

$7,7 < x \le 81$

Способ 2: Решение с помощью системы неравенств

Данное двойное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 5 - 0,1x \ge -3,1 \\ 5 - 0,1x < 4,23 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$-0,1x \ge -3,1 - 5$

$-0,1x \ge -8,1$

$x \le \frac{-8,1}{-0,1}$

$x \le 81$

Решим второе неравенство:

$-0,1x < 4,23 - 5$

$-0,1x < -0,77$

$x > \frac{-0,77}{-0,1}$

$x > 7,7$

Пересечением решений $x \le 81$ и $x > 7,7$ является промежуток $7,7 < x \le 81$.

Ответ: $x \in (7,7; 81]$.

г) $-6,4 < 3 - 0,2x < 2,48$

Способ 1: Решение путем преобразования двойного неравенства

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-6,4 - 3 < 3 - 0,2x - 3 < 2,48 - 3$

$-9,4 < -0,2x < -0,52$

Разделим все части неравенства на -0,2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-9,4}{-0,2} > \frac{-0,2x}{-0,2} > \frac{-0,52}{-0,2}$

$47 > x > 2,6$

Запишем в стандартном виде:

$2,6 < x < 47$

Способ 2: Решение с помощью системы неравенств

Данное двойное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 3 - 0,2x > -6,4 \\ 3 - 0,2x < 2,48 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$-0,2x > -6,4 - 3$

$-0,2x > -9,4$

$x < \frac{-9,4}{-0,2}$

$x < 47$

Решим второе неравенство:

$-0,2x < 2,48 - 3$

$-0,2x < -0,52$

$x > \frac{-0,52}{-0,2}$

$x > 2,6$

Пересечением решений $x < 47$ и $x > 2,6$ является промежуток $2,6 < x < 47$.

Ответ: $x \in (2,6; 47)$.