Номер 24.32, страница 118 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.32. Найдите, при каких значениях переменной значение выражения $\frac{2}{9}(4-9x)$ больше -2, но не превышает 12.

Условие "значение выражения $\frac{2}{9}(4-9x)$ больше -2, но не превышает 12" можно записать в виде двойного неравенства:

$-2 < \frac{2}{9}(4 - 9x) \le 12$

Чтобы решить это неравенство, сначала умножим все его части на $\frac{9}{2}$. Так как мы умножаем на положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-2 \cdot \frac{9}{2} < \frac{2}{9}(4 - 9x) \cdot \frac{9}{2} \le 12 \cdot \frac{9}{2}$

Выполним вычисления:

$-9 < 4 - 9x \le 54$

Теперь вычтем 4 из всех частей неравенства, чтобы изолировать слагаемое, содержащее переменную $x$:

$-9 - 4 < 4 - 9x - 4 \le 54 - 4$

$-13 < -9x \le 50$

На последнем шаге разделим все части неравенства на -9. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-13}{-9} > \frac{-9x}{-9} \ge \frac{50}{-9}$

$\frac{13}{9} > x \ge -\frac{50}{9}$

Для удобства чтения запишем результат в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-\frac{50}{9} \le x < \frac{13}{9}$

Это решение можно также представить в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [-\frac{50}{9}; \frac{13}{9})$.