Номер 24.35, страница 119 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.35*. Для каждого значения числа $a$ решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} 2x - 1 < 3, \\ 2x - a \le a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - 1 \ge 3, \\ 2x - a < a; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - 1 \le 3, \\ 2x - a \le a. \end{cases}$

Решим данную систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 1 < 3, \\ 2x - a \leq a; \end{cases} $$

Преобразуем каждое неравенство системы, выразив $x$.

Из первого неравенства получаем:

$2x < 3 + 1$

$2x < 4$

$x < 2$

Из второго неравенства получаем:

$2x \leq a + a$

$2x \leq 2a$

$x \leq a$

Таким образом, исходная система равносильна системе:

$$ \begin{cases} x < 2, \\ x \leq a. \end{cases} $$

Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение множеств решений этих двух неравенств: $(-\infty, 2)$ и $(-\infty, a]$. Результат зависит от значения параметра $a$.

1. Если $a < 2$. Тогда любое $x$, удовлетворяющее условию $x \leq a$, автоматически удовлетворяет и условию $x < 2$. Следовательно, пересечением является промежуток $(-\infty, a]$, и решением системы является $x \leq a$.

2. Если $a \geq 2$. Тогда любое $x$, удовлетворяющее условию $x < 2$, автоматически удовлетворяет и условию $x \leq a$. Следовательно, пересечением является промежуток $(-\infty, 2)$, и решением системы является $x < 2$.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (-\infty, a]$; если $a \geq 2$, то $x \in (-\infty, 2)$.

Решим данную систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 1 \geq 3, \\ 2x - a < a; \end{cases} $$

Преобразуем каждое неравенство системы, выразив $x$.

Из первого неравенства получаем:

$2x \geq 3 + 1$

$2x \geq 4$

$x \geq 2$

Из второго неравенства получаем:

$2x < a + a$

$2x < 2a$

$x < a$

Таким образом, исходная система равносильна системе:

$$ \begin{cases} x \geq 2, \\ x < a. \end{cases} $$

Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение множеств решений этих двух неравенств: $[2, +\infty)$ и $(-\infty, a)$. Это пересечение представляет собой промежуток $[2, a)$.

1. Если $a \leq 2$. Тогда правая граница промежутка $a$ меньше или равна левой границе $2$. В этом случае промежуток является пустым множеством. Система не имеет решений.

2. Если $a > 2$. Тогда промежуток $[2, a)$ не пуст, и решением системы является $2 \leq x < a$.

Ответ: если $a \leq 2$, то решений нет ($x \in \emptyset$); если $a > 2$, то $x \in [2, a)$.

Решим данную систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 1 \leq 3, \\ 2x - a \leq a. \end{cases} $$

Преобразуем каждое неравенство системы, выразив $x$.

Из первого неравенства получаем:

$2x \leq 3 + 1$

$2x \leq 4$

$x \leq 2$

Из второго неравенства получаем:

$2x \leq a + a$

$2x \leq 2a$

$x \leq a$

Таким образом, исходная система равносильна системе:

$$ \begin{cases} x \leq 2, \\ x \leq a. \end{cases} $$

Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение множеств решений этих двух неравенств: $(-\infty, 2]$ и $(-\infty, a]$. Результат зависит от значения параметра $a$.

1. Если $a < 2$. Тогда любое $x$, удовлетворяющее условию $x \leq a$, автоматически удовлетворяет и условию $x \leq 2$. Следовательно, пересечением является промежуток $(-\infty, a]$, и решением системы является $x \leq a$.

2. Если $a \geq 2$. Тогда любое $x$, удовлетворяющее условию $x \leq 2$, автоматически удовлетворяет и условию $x \leq a$. Следовательно, пересечением является промежуток $(-\infty, 2]$, и решением системы является $x \leq 2$.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (-\infty, a]$; если $a \geq 2$, то $x \in (-\infty, 2]$.