Номер 30, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.30. Найдите произведение корней уравнения:

a) $(3x^2 - 4x - 7)\log_3(2 - x) = 0;$

б) $(x^2 - 3x - 4) \cdot \log_5(3x - 8) = 0.$

а) Дано уравнение $(3x^2 - 4x - 7)\log_3(2-x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$2 - x > 0$

$x < 2$

Теперь рассмотрим два возможных случая, при которых произведение равно нулю:

1) $3x^2 - 4x - 7 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x < 2$):

• Корень $x_1 = \frac{7}{3}$. Поскольку $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$, то $x_1 > 2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $x_2 = -1$. Поскольку $-1 < 2$, этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $\log_3(2-x) = 0$

По определению логарифма:

$2 - x = 3^0$

$2 - x = 1$

$x_3 = 1$

Проверим этот корень на соответствие ОДЗ ($x < 2$). Поскольку $1 < 2$, корень $x_3 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня: -1 и 1.

Найдем их произведение:

$(-1) \cdot 1 = -1$

Ответ: -1

б) Дано уравнение $(x^2 - 3x - 4) \cdot \log_5(3x-8) = 0$.

Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$3x - 8 > 0$

$3x > 8$

$x > \frac{8}{3}$

Рассмотрим два случая:

1) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Отсюда находим корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -1$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x > \frac{8}{3}$):

• Корень $x_1 = 4$. Поскольку $4 = \frac{12}{3}$, а $\frac{12}{3} > \frac{8}{3}$, этот корень удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $x_2 = -1$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < \frac{8}{3}$.

2) $\log_5(3x-8) = 0$

По определению логарифма:

$3x - 8 = 5^0$

$3x - 8 = 1$

$3x = 9$

$x_3 = 3$

Проверим этот корень на соответствие ОДЗ ($x > \frac{8}{3}$). Поскольку $3 = \frac{9}{3}$, а $\frac{9}{3} > \frac{8}{3}$, корень $x_3 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня: 4 и 3.

Найдем их произведение:

$4 \cdot 3 = 12$

Ответ: 12