Номер 34, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.34. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $\log_x \sqrt{3x + 4} = 1$.

Для решения уравнения $\log_x \sqrt{3x + 4} = 1$ необходимо сначала определить его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Определение ОДЗ

Для существования логарифма $\log_b a$ должны выполняться следующие условия:

• Основание логарифма должно быть положительным и не равно единице: $b > 0$, $b \neq 1$. В нашем случае $x > 0$ и $x \neq 1$.
• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $a > 0$. В нашем случае $\sqrt{3x + 4} > 0$.

Решим неравенство для аргумента: $\sqrt{3x + 4} > 0$. Это неравенство выполняется, когда подкоренное выражение строго больше нуля:

$3x + 4 > 0$

$3x > -4$

$x > -\frac{4}{3}$

Объединяя все условия ($x > 0$, $x \neq 1$ и $x > -\frac{4}{3}$), получаем итоговую ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Решение уравнения

По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это к нашему уравнению:

$\sqrt{3x + 4} = x^1$

$\sqrt{3x + 4} = x$

Чтобы решить это иррациональное уравнение, возведем обе части в квадрат. При возведении в квадрат необходимо убедиться, что обе части уравнения неотрицательны. Правая часть, $\sqrt{3x+4}$, по определению арифметического корня, всегда неотрицательна. Следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. Это условие уже учтено в нашей ОДЗ.

$(\sqrt{3x + 4})^2 = x^2$

$3x + 4 = x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

3. Нахождение корней квадратного уравнения

Решим полученное уравнение, например, с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -4$

Подбираем корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

• Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > 0$ и $4 \neq 1$. Следовательно, $x = 4$ является решением исходного уравнения.
• Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x = 4$.

Сумма корней (корень, если он единственный): Ответ: 4