Номер 24, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.24. Сколько точек пересечения имеют графики функций

$y = \log_2 (9 - 2^x)$ и $y = 10^{\lg(3 - x)}$?

Чтобы найти количество точек пересечения графиков двух функций, необходимо найти количество решений уравнения, в котором правые части этих функций приравнены друг к другу.

Исходные функции:

1. $y = \log_2(9 - 2^x)$

2. $y = 10^{\lg(3 - x)}$

Приравняем правые части уравнений:

$\log_2(9 - 2^x) = 10^{\lg(3 - x)}$

Прежде чем решать уравнение, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Для первой функции аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$9 - 2^x > 0 \implies 2^x < 9 \implies x < \log_2(9)$

Для второй функции выражение под знаком десятичного логарифма ($\lg$) также должно быть строго больше нуля:

$3 - x > 0 \implies x < 3$

Общая ОДЗ является пересечением этих двух условий. Сравним $3$ и $\log_2(9)$. Мы знаем, что $3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$. Так как $9 > 8$ и основание логарифма $2 > 1$, то $\log_2(9) > \log_2(8)$, следовательно $\log_2(9) > 3$. Таким образом, пересечением условий $x < \log_2(9)$ и $x < 3$ является $x < 3$.

Теперь упростим правую часть исходного уравнения, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$:

$10^{\lg(3 - x)} = 10^{\log_{10}(3 - x)} = 3 - x$

Уравнение принимает вид:

$\log_2(9 - 2^x) = 3 - x$

По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему (на найденной ОДЗ):

$9 - 2^x = 2^{3 - x}$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:

$9 - 2^x = \frac{2^3}{2^x} \implies 9 - 2^x = \frac{8}{2^x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как из ОДЗ мы имеем $x < 3$, то для $t$ получаем условие $t < 2^3$, то есть $t < 8$. Также, поскольку $2^x$ всегда положительно, $t > 0$. Итак, $0 < t < 8$.

Подставим $t$ в уравнение:

$9 - t = \frac{8}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t(9 - t) = 8$

$9t - t^2 = 8$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 9t + 8 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 8. Корни легко находятся: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $0 < t < 8$.

Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 < 1 < 8$.

Корень $t_2 = 8$ не удовлетворяет условию, так как требуется строгое неравенство $t < 8$.

Таким образом, у нас есть только одно подходящее значение для $t$, это $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$2^x = t \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=0$ ОДЗ ($x < 3$). Да, $0 < 3$.

Поскольку мы нашли ровно одно решение уравнения, это означает, что графики данных функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1