Номер 29, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.29. Решите уравнение:

а) $\sqrt{x - 4} \cdot \log_{2}(x - 2) = 0;$

б) $\sqrt{3x + 18} \cdot \log_{4}(x + 4) = 0.$

a) Дано уравнение: $\sqrt{x-4} \cdot \log_2(x-2) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0$, что дает $x \ge 4$.
Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x-2 > 0$, что дает $x > 2$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x > 2 \end{cases} \implies x \ge 4$.

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:
1) Первый множитель равен нулю:
$\sqrt{x-4} = 0$
$x-4 = 0$
$x = 4$
Проверим, входит ли этот корень в ОДЗ. Так как $4 \ge 4$, корень $x=4$ является решением уравнения.

2) Второй множитель равен нулю:
$\log_2(x-2) = 0$
По определению логарифма:
$x-2 = 2^0$
$x-2 = 1$
$x = 3$
Проверим, входит ли этот корень в ОДЗ. Так как $3 < 4$, корень $x=3$ не является решением уравнения (это посторонний корень).

Единственным решением уравнения является $x=4$.
Ответ: 4.

б) Дано уравнение: $\sqrt{3x+18} \cdot \log_4(x+4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем: $3x+18 \ge 0 \implies 3x \ge -18 \implies x \ge -6$.
Выражение под логарифмом: $x+4 > 0 \implies x > -4$.
Общая ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -6 \\ x > -4 \end{cases} \implies x > -4$.

Рассмотрим два случая:
1) $\sqrt{3x+18} = 0$
$3x+18 = 0$
$3x = -18$
$x = -6$
Проверим корень по ОДЗ. Условие $x > -4$ не выполняется, так как $-6 \ngtr -4$. Следовательно, $x=-6$ — посторонний корень.

2) $\log_4(x+4) = 0$
По определению логарифма:
$x+4 = 4^0$
$x+4 = 1$
$x = -3$
Проверим корень по ОДЗ. Условие $x > -4$ выполняется, так как $-3 > -4$. Следовательно, $x=-3$ является решением.

Единственным решением уравнения является $x=-3$.
Ответ: -3.