Номер 26.8, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.8. Найдите (в градусах) решение уравнения $cos^2 x - 2f'(x) = \sin x \cdot f'(x)$, если $f(x) = \cos x$ и $180^\circ < x < 270^\circ$.

26.8.

Для решения уравнения $\cos^2 x - 2f'(x) = \sin x \cdot f'(x)$ при заданных условиях $f(x) = \cos x$ и $180^\circ < x < 270^\circ$, выполним следующие действия.

1. Находим производную функции $f(x) = \cos x$.

Производная от косинуса равна минус синусу:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

2. Подставляем полученное выражение для производной $f'(x)$ в исходное уравнение.

$\cos^2 x - 2(-\sin x) = \sin x \cdot (-\sin x)$

После раскрытия скобок получаем:

$\cos^2 x + 2\sin x = -\sin^2 x$

3. Преобразуем и решаем полученное уравнение.

Переносим все члены уравнения в левую часть:

$\cos^2 x + \sin^2 x + 2\sin x = 0$

Применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 + 2\sin x = 0$

Выражаем $\sin x$:

$2\sin x = -1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

4. Находим решение, соответствующее заданному интервалу.

Необходимо найти такое значение $x$, чтобы выполнялось условие $180^\circ < x < 270^\circ$. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти.

Общее решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ представлено двумя сериями корней: $x = 210^\circ + 360^\circ \cdot k$ и $x = 330^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.

Проверяем, какой из корней попадает в интервал $(180^\circ, 270^\circ)$:

• При $k=0$ для первой серии получаем $x = 210^\circ$. Это значение удовлетворяет условию, так как $180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$.
• При $k=0$ для второй серии получаем $x = 330^\circ$. Это значение не входит в заданный интервал.

Таким образом, единственное решение уравнения в указанном интервале — $210^\circ$.

Ответ: 210