Номер 26.6, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.6. Вычислите $f''(1)$, если $f(x) = \sqrt{x^2+3} + \frac{2x}{x+1}$.

26.6.

Чтобы вычислить значение производной функции $f'(1)$, сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 3} + \frac{2x}{x+1}$.

Производная суммы функций равна сумме их производных. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

1. Производная первого слагаемого $(\sqrt{x^2 + 3})'$. Это сложная функция, поэтому применяем правило дифференцирования сложной функции, согласно которому $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$(\sqrt{x^2 + 3})' = \frac{(x^2+3)'}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

2. Производная второго слагаемого $(\frac{2x}{x+1})'$. Применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$\left(\frac{2x}{x+1}\right)' = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Теперь сложим полученные производные, чтобы найти общую производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} + \frac{2}{(x+1)^2}$

Наконец, подставим значение $x=1$ в выражение для производной, чтобы найти $f'(1)$:

$f'(1) = \frac{1}{\sqrt{1^2+3}} + \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+3}} + \frac{2}{2^2} = \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1