Номер 26.10, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.10. Решите уравнение $f'(x) = 1$, если $f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3}$.

Для решения уравнения $f'(x) = 1$ сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3}$.

Производная функции находится как сумма производных ее слагаемых: $f'(x) = (\sin^2 x)' + (\sqrt{3})'$.

Найдем производную от первого слагаемого, $\sin^2 x$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, упростим полученное выражение:

$2\sin x \cos x = \sin(2x)$

Производная второго слагаемого, являющегося константой $\sqrt{3}$, равна нулю:

$(\sqrt{3})' = 0$

Таким образом, производная всей функции $f(x)$ имеет вид:

$f'(x) = \sin(2x) + 0 = \sin(2x)$

Теперь подставим найденную производную в исходное уравнение $f'(x) = 1$:

$\sin(2x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\sin(\alpha) = 1$ записывается как $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Применительно к нашему уравнению, где $\alpha = 2x$, получаем:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{2 \cdot 2} + \frac{2\pi k}{2}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.