Номер 26.3, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.3. Сравните значения выражений $f'(-4)$ и $f'(-\sqrt{15})$, если

$f(x) = (4x+15)^3$.

Для того чтобы сравнить значения выражений, сначала найдем производную функции $f(x) = (4x+15)^3$.

Это сложная функция, и для нахождения ее производной мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае внешняя функция $g(u) = u^3$, а внутренняя $h(x) = 4x+15$. Их производные: $g'(u) = 3u^2$ и $h'(x) = 4$.

Тогда производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 3(4x+15)^2 \cdot 4 = 12(4x+15)^2$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

f'(-4)

Подставим значение $x = -4$ в найденное выражение для производной:

$f'(-4) = 12(4 \cdot (-4)+15)^2 = 12(-16+15)^2 = 12(-1)^2 = 12 \cdot 1 = 12$.

Ответ: 12.

f'(-√15)

Подставим значение $x = -\sqrt{15}$ в выражение для производной:

$f'(-\sqrt{15}) = 12(4 \cdot (-\sqrt{15})+15)^2 = 12(15 - 4\sqrt{15})^2$.

Ответ: $12(15 - 4\sqrt{15})^2$.

Сравнение значений выражений f'(-4) и f'(-√15)

Нам необходимо сравнить полученные значения: $12$ и $12(15 - 4\sqrt{15})^2$. Для этого достаточно сравнить $1$ и $(15 - 4\sqrt{15})^2$.

Оценим значение выражения $15 - 4\sqrt{15}$. Для этого сравним $15$ и $4\sqrt{15}$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $15^2 = 225$ и $(4\sqrt{15})^2 = 16 \cdot 15 = 240$. Поскольку $225 < 240$, то $15 < 4\sqrt{15}$, и, значит, разность $15 - 4\sqrt{15}$ отрицательна.

Теперь сравним $15 - 4\sqrt{15}$ с числом $-1$. Это равносильно сравнению $16$ с $4\sqrt{15}$. Разделим оба числа на 4 и сравним $4$ и $\sqrt{15}$. Возведем их в квадрат: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{15})^2 = 15$. Так как $16 > 15$, то $4 > \sqrt{15}$, следовательно $16 > 4\sqrt{15}$ и $15 - 4\sqrt{15} > -1$.

Таким образом, мы установили, что $-1 < 15 - 4\sqrt{15} < 0$.

Квадрат любого числа, находящегося в интервале от $-1$ до $0$, будет находиться в интервале от $0$ до $1$. Следовательно, $0 < (15 - 4\sqrt{15})^2 < 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на 12:

$12 \cdot 0 < 12(15 - 4\sqrt{15})^2 < 12 \cdot 1$

$0 < f'(-\sqrt{15}) < 12$

Поскольку $f'(-4) = 12$, а $f'(-\sqrt{15}) < 12$, мы можем сделать вывод о сравнении этих значений.

Ответ: $f'(-4) > f'(-\sqrt{15})$.