Номер 26.1, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.1. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найдите производную функции:

а) $f(x) = x \sin x$;

б) $f(x) = \frac{\cos x}{2x}$;

в) $f(x) = \tan x - \sin x$;

г) $f(x) = \cot x \cdot \cos x$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x \sin x$ применяется правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$.
Производные этих функций равны:
$u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$
Подставляя в формулу производной произведения, получаем:
$f'(x) = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.
Ответ: $\sin x + x \cos x$

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\cos x}{2x}$ используется правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = \cos x$ и $v(x) = 2x$.
Производные этих функций:
$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
$v'(x) = (2x)' = 2$
Подставляя в формулу, получаем:
$f'(x) = \frac{(\cos x)' \cdot (2x) - \cos x \cdot (2x)'}{(2x)^2} = \frac{-\sin x \cdot 2x - \cos x \cdot 2}{4x^2} = \frac{-2x \sin x - 2 \cos x}{4x^2}$
Упростим выражение, вынеся общий множитель -2 в числителе:
$f'(x) = \frac{-2(x \sin x + \cos x)}{4x^2} = -\frac{x \sin x + \cos x}{2x^2}$.
Ответ: $-\frac{x \sin x + \cos x}{2x^2}$

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \tg x - \sin x$ применяется правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$.
Найдём производные табличных функций:
$(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
$(\sin x)' = \cos x$
Тогда производная разности равна:
$f'(x) = (\tg x)' - (\sin x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - \cos x$.
Если привести это выражение к общему знаменателю, получится $f'(x) = \frac{1 - \cos^3 x}{\cos^2 x}$. Эту дробь можно считать неправильной относительно $\cos x$, так как степень числителя (3) больше степени знаменателя (2). Выделим "целую часть" путем почленного деления: $\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\cos^3 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \cos x$. Таким образом, "целая часть" равна $-\cos x$.
Ответ: $-\cos x$ + $\frac{1}{\cos^2 x}$

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \ctg x \cdot \cos x$ сначала упростим её, используя определение котангенса:
$f(x) = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos^2 x}{\sin x}$.
Теперь применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \cos^2 x$ и $v(x) = \sin x$.
Найдём производную $u'(x) = (\cos^2 x)'$. По правилу производной сложной функции: $u'(x) = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.
Производная $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{(-2\sin x \cos x) \cdot \sin x - \cos^2 x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} = \frac{-2\sin^2 x \cos x - \cos^3 x}{\sin^2 x}$.
Чтобы выделить "целую часть", разделим числитель на знаменатель почленно:
$f'(x) = \frac{-2\sin^2 x \cos x}{\sin^2 x} - \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} = -2\cos x - \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x}$.
"Целая часть" этого выражения равна $-2\cos x$.
Ответ: $-2\cos x$ - $\frac{\cos^3 x}{\sin^2 x}$