Номер 15.7, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.7. Докажите, что значение выражения

$\cos^2\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sin^2 \alpha + \sqrt{3} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin \alpha$

не зависит от $\alpha$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $ \alpha $, необходимо его упростить. Рассмотрим данное выражение:

$ \cos^2\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sin^2\alpha + \sqrt{3}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin\alpha $

Преобразуем первую часть выражения, $ \cos^2\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sin^2\alpha $, используя тригонометрическую формулу $ \cos^2A - \sin^2B = \cos(A+B)\cos(A-B) $. В нашем случае $ A = \frac{\pi}{6} + \alpha $ и $ B = \alpha $.

$ \cos^2\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sin^2\alpha = \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \alpha\right)\cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Так как значение $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, первая часть выражения равна $ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right) $.

Теперь преобразуем вторую часть выражения, $ \sqrt{3}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin\alpha $, используя формулу преобразования произведения синусов в сумму (разность): $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $. Здесь $ A = \alpha + \frac{\pi}{6} $ и $ B = \alpha $.

$ \sqrt{3}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin\alpha = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\left[\cos\left(\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \alpha\right) - \cos\left(\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + \alpha\right)\right] $

$ = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\right) $

Подставим известное значение $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\right) = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) $

Теперь сложим обе преобразованные части, чтобы получить значение исходного выражения:

$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right)\right) + \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\right) $

Слагаемые, содержащие переменную $ \alpha $, взаимно уничтожаются:

$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right) + \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right) = \frac{3}{4} $

Таким образом, значение выражения равно $ \frac{3}{4} $ и не зависит от $ \alpha $, что и требовалось доказать.

15.7. Ответ: $ \frac{3}{4} $.