Номер 15.6, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.6. Найдите значение выражения $\frac{\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\alpha\right)}{\cos\alpha}$, если известно, что $\text{tg}\alpha = 2\sqrt{3}$.

Чтобы найти значение выражения, преобразуем его, используя формулу косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

Применим формулу к числителю дроби, где $x = \frac{2\pi}{3}$ и $y = \alpha$:

$\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = \cos\frac{2\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{2\pi}{3}\sin\alpha$

Найдем табличные значения косинуса и синуса угла $\frac{2\pi}{3}$:

$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = -\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha)}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \ne 0$, что следует из того, что $\tan\alpha$ определен):

$\frac{-\frac{1}{2}\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Поскольку $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, выражение упрощается до:

$-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\tan\alpha$

По условию задачи $\tan\alpha = 2\sqrt{3}$. Подставим это значение:

$-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2\sqrt{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{2\cdot(\sqrt{3})^2}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 3}{2} = -\frac{1}{2} - 3$

Выполним вычитание:

$-\frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{7}{2}$

Представим результат в виде смешанной дроби: $-\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2}$.

15.6. Ответ: $ \mathbf{-3}\frac{1}{2} $