Номер 15.5, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.5. Докажите, что $\sqrt{3} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{12} = 2$.

Для доказательства тождества $ \sqrt{3} + \text{tg}\frac{\pi}{12} = 2 $ преобразуем его левую часть. Заменим $ \sqrt{3} $ на тригонометрическую функцию, а именно $ \text{tg}\frac{\pi}{3} $, так как это его точное значение.

Исходное выражение примет вид:

$ \text{tg}\frac{\pi}{3} + \text{tg}\frac{\pi}{12} $

Используем формулу тангенса $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и приведем сумму к общему знаменателю:

$ \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}} + \frac{\sin\frac{\pi}{12}}{\cos\frac{\pi}{12}} = \frac{\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{12}}{\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{12}} $

Выражение в числителе является развернутой формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $. Применим ее для $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $:

$ \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{4\pi + \pi}{12}) = \sin\frac{5\pi}{12} $

Теперь все выражение выглядит так:

$ \frac{\sin\frac{5\pi}{12}}{\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{12}} $

Мы знаем, что $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $. Подставим это значение в знаменатель:

$ \frac{\sin\frac{5\pi}{12}}{\frac{1}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{12}} = \frac{2\sin\frac{5\pi}{12}}{\cos\frac{\pi}{12}} $

Далее, воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ для преобразования числителя:

$ \sin\frac{5\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12}) = \cos(\frac{6\pi - 5\pi}{12}) = \cos\frac{\pi}{12} $

Подставим полученное тождество в наше выражение:

$ \frac{2\cos\frac{\pi}{12}}{\cos\frac{\pi}{12}} $

Сокращая $ \cos\frac{\pi}{12} $ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $ \cos\frac{\pi}{12} \neq 0 $), получаем:

$ 2 $

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства $ \sqrt{3} + \text{tg}\frac{\pi}{12} $ равна $ 2 $, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано, так как левая часть равна 2.